Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，且AB＝6.点C是⊙O上的一动点，连接AC，BC，在AC的延长线上取一点D，使得∠CBD＝∠DAB，点G为DB的中点，点E为BG的中点，连接AE交BC于点F.

(1)试判断直线BD与⊙O的位置关系，并说明理由；

(2)当∠CGB＝60°时，求的长；

(3)当AE∥CG时，连接GF，若AF＝4，求BD的长．

Answer 1

【答案】（1）直线BD与⊙O相切，详见解析；（2）π；（3）8

【解析】

（1）根据圆周角定理，由AB是⊙O的直径，可得∠DCB=∠ACB=90°，故有∠D+∠CBD=90°；再由∠CBD=∠DAB，可得∠D+∠DAB=90°，即∠ABD=90°，可得结论．

（2）因为点G是Rt△BCD斜边BD的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半得CG=BG=BD．又有∠CGB=60°，故△BCG是等边三角形，求得∠DBC=60°，进而得∠ABC=30°．根据圆周角定理有∠AOC=2∠ABC=60°，再由半径r=AB=3代入弧长公式即求得的长．

（3）由AE∥CG和E为BG中点可证得点F为BC中点，又因为CG=BG=BD，故FG⊥BC，进而得AC∥FG，所以四边形AFGC是平行四边形，所以有BG=CG=AF=4，BD=2BG=8．

解：(1)直线BD与⊙O相切，理由如下：

∵AB是⊙O的直径

∴∠BCD＝∠ACB＝90°，

∴∠D＋∠CBD＝90°，

∵∠CBD＝∠DAB，

∴∠D＋∠DAB＝90°，

∴∠ABD＝90°，

即BD⊥AB，

∴直线BD与⊙O相切

图1

(2)如图1，连接OC

∵∠BCD＝90°，点G为DB的中点

∴BG＝CG＝DG＝BD

∵∠CGB＝60°

∴△BCG是等边三角形

∴∠DBC＝60°

∴∠ABC＝∠ABD－∠DBC＝30°

∴∠AOC＝2∠ABC＝60°

∵直径AB＝6

∴半径r＝3

∴的长为

图2

(3)如图2，连接FG，∵点E是BG中点

∴BE＝EG

∵AE∥CG

∴

∴BF＝CF，即点F是BC中点

∵BG＝CG

∴FG⊥BC

∴∠CFG＝∠ACB＝90°

∴FG∥AC

∴四边形AFGC是平行四边形

∴CG＝AF＝4

∴BG＝CG＝4

∴BD＝2BG＝8