(1)如图1.正方形ABCD.将∠BAD以点A为旋转中心进行旋转.角的两边分别交CD于点E.交CB的延长线于点F．证明:AF=AE．(2)阅读理解:若平面上四点连成四边形的对角互补.那么这四点共圆．这是四点共圆的判定方法之一．如图2.在四边形中ABCD中.若∠B+∠D=180°.则A.B.C.D四点在同一个圆上．得出四点共圆后.可以用圆的知识来帮助解决多边形的问题.因此四� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

20．（1）如图1，正方形ABCD，将∠BAD以点A为旋转中心进行旋转，角的两边分别交CD于点E，交CB的延长线于点F．证明：AF=AE．
（2）阅读理解：若平面上四点连成四边形的对角互补，那么这四点共圆．这是四点共圆的判定方法之一．如图2，在四边形中ABCD中，若∠B+∠D=180°，则A、B、C、D四点在同一个圆上．
得出四点共圆后，可以用圆的知识来帮助解决多边形的问题，因此四点共圆的知识能为解决相关的问题提供新的思路．如第（1）小题中，因为∠BCD=90°，∠FAE=∠BAD=90°，所以∠FAE+∠BCD=180°，即F、C、E、A四点共圆．
如图3，请在F、C、E、A四点共圆的基础上证明第（1）小题的结论．
（3）如图4，将正方形改为矩形，且AB=a，BC=b，其它条件不变，请猜想$\frac{AE}{AF}$的值，并用两种不同的方法进行证明．

分析（1）由∠1=∠2，AB=AD，∠ABF=∠ADE=90°，得出△ABF≌△ADE，进而可证明AF=AE；
（2）易证A、E、C、F四点共圆，所以∠AEF=∠ACB=45°，继而证明△AEF是等腰直角三角形，所以可得AF=AE；
（3）易证A、E、C、F四点共圆，所以可得∠AFE=∠ACD，由tan∠AFE=tan∠ACD，即可求出$\frac{AE}{AF}$的值．

解答解：
（1）∵正方形ABCD，将∠BAD以点A为旋转中心进行旋转，
∴∠FAB+∠BAE=∠DAE+∠BAE=90°
∴∠BAF=∠DAE，
在△ABF和△ADE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAF=∠DAE}\\{AB=AD}\\{∠ABF=∠ADE=90°}\end{array}\right.$
∴△ABF≌△ADE，
∴AF=AE；
（2）∵∠EAF=90°，∠ECF=90°，
∴A、E、C、F四点共圆，
∴∠AEF=∠ACB=45°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴AF=AE；
（3）∵∠EAF=90°，∠ECF=90°，
∴A、E、C、F四点共圆，
∴∠AFE=∠ACD，
∴tan∠AFE=tan∠ACD，
即$\frac{AE}{AF}=\frac{AD}{CD}=\frac{b}{a}$．