Question

已知：如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y=

k

x

（k≠0）的图象交于一、三象限内的A，B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为（2，m），点B的坐标为（n，-2），tan∠BOC=

2

5

．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）在x轴上有一点E（O点除外），使得△BCE与△BCO的面积相等，求出点E的坐标；
（3）若点C关于y轴的对称点为点D，求△ABD的面积．

Answer 1

考点：反比例函数与一次函数的交点问题

专题：代数几何综合题

分析：（1）作BH⊥x轴于H，利用正切的定义得tan∠BOH=

BH

OH

=

2

5

，可计算出OH=5，则B点坐标为（-5，-2），
把B（-5，-2）代入y=

k

x

可计算k=10，所以反比例函数的解析式为y=

10

x

；在把A（2，m）代入y=

10

x

可确定A点坐标为（2，5），然后利用待定系数法确定一次函数的解析式；
（2）先确定C点坐标为（-3，0），再根据三角形面积公式得到CE=OC=3，于是得到E点坐标为（-6，0）或（3，0）；
（3）利用点C关于y轴的对称点为点D得到D点坐标为（3，0），然后利用S_△ABD=S_△ACD+S△_CDB进行计算．

解答：解：（1）作BH⊥x轴于H，如图，
∵点B的坐标为（n，-2），tan∠BOC=

2

5

，
∴BH=2，tan∠BOH=

BH

OH

=

2

5

，
∴OH=5，
∴B点坐标为（-5，-2），
把B（-5，-2）代入y=

k

x

得k=-5×（-2）=10，
∴反比例函数的解析式为y=

10

x

；
把A（2，m）代入y=

10

x

得2m=10，解得m=5，
∴A点坐标为（2，5），
把A（2，5）和B（-5，-2）代入y=ax+b得

2a+b=5 -5a+b=-2

，解得

a=1 b=3

，
∴一次函数的解析式为y=x+3；
（2）把y=0代入y=x+3得x+3=0，解得x=-3，则C点坐标为（-3，0），
∵△BCE与△BCO的面积相等，
∴CE=OC=3，
∴E点坐标为（-6，0）或（3，0）；
（3）∵点C关于y轴的对称点为点D，
∴D点坐标为（3，0），
∴S_△ABD=S_△ACD+S△_CDB=

1

2

×（3+3）×5+

1

2

×（3+3）×2=21．

点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．