Question

如图，已知抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点C（0，-3），对称轴是直线x=1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求直线BC的函数表达式；
（3）点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点F，交抛物线于P、Q两点，且点P在第三象限．
①当线段PQ=

3

4

AB时，求tan∠CED的值；
②当以点C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标．
温馨提示：考生可以根据第（3）问的题意，在图中补出图形，以便作答．

Answer 1

分析：已知C点的坐标，即知道OC的长，可在直角三角形BOC中根据∠BCO的正切值求出OB的长，即可得出B点的坐标．已知了△AOC和△BOC的面积比，由于两三角形的高相等，因此面积比就是AO与OB的比．由此可求出OA的长，也就求出了A点的坐标，然后根据A、B、C三点的坐标即可用待定系数法求出抛物线的解析式．

解答：解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴-

b

2a

=-

b

2×1

=1
∴b=-2
∵抛物线与y轴交于点C（0，-3），
∴c=-3，
∴抛物线的函数表达式为y=x²-2x-3；

（2）∵抛物线与x轴交于A、B两点，
当y=0时，x²-2x-3=0．
∴x₁=-1，x₂=3．
∵A点在B点左侧，
∴A（-1，0），B（3，0）
设过点B（3，0）、C（0，-3）的直线的函数表达式为y=kx+m，
则

0=3k+m -3=m

，
∴

k=1 m=-3

∴直线BC的函数表达式为y=x-3；

（3）①∵AB=4，PQ=

3

4

AB，
∴PQ=3
∵PQ⊥y轴
∴PQ∥x轴，
则由抛物线的对称性可得PM=

3

2

，
∵对称轴是直线x=1，
∴P到y轴的距离是

1

2

，
∴点P的横坐标为-

1

2

，
∴P（-

1

2

，-

7

4

）
∴F（0，-

7

4

），
∴FC=3-OF=3-

7

4

=

5

4

∵PQ垂直平分CE于点F，
∴CE=2FC=

5

2

∵点D在直线BC上，
∴当x=1时，y=-2，则D（1，-2），
过点D作DG⊥CE于点G，
∴DG=1，CG=1，
∴GE=CE-CG=

5

2

-1=

3

2

．
在Rt△EGD中，tan∠CED=

GD

EG

=

2

3

．
②P₁（1-

2

，-2），P₂（1-

6

2

，-

5

2

）．
设OE=a，则GE=2-a，
当CE为斜边时，则DG²=CG•GE，即1=（OC-OG）•（2-a），
∴1=1×（2-a），
∴a=1，
∴CE=2，
∴OF=OE+EF=2
∴F、P的纵坐标为-2，
把y=-2，代入抛物线的函数表达式为y=x²-2x-3得：x=1+

2

或1-

2

∵点P在第三象限．
∴P₁（1-

2

，-2），
当CD为斜边时，DE⊥CE，
∴OE=2，CE=1，
∴OF=2.5，
∴P和F的纵坐标为：-

5

2

，
把y=-

5

2

，代入抛物线的函数表达式为y=x²-2x-3得：x=1-

6

2

，或1+

6

2

，
∵点P在第三象限．
∴P₂（1-

6

2

，-

5

2

）．
综上所述：满足条件为P₁（1-

2

，-2），P₂（1-

6

2

，-

5

2

）．

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．