Question

13．如图1，等腰直角三角形OAB的斜边OB在x轴上，点A在第四象限，B（10，0），抛物线经过O、A、B三点，且与直线y=-$\frac{1}{3}$x交于点O和点C．

（1）求该抛物线的解析式，并求出点C的坐标；
（2）如图2，点P（t，0）是线段OB上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线y=-$\frac{1}{3}$x于点E，交抛物线于点F，以EF为一边，在EF的右侧作矩形EFGH，且FG=2．
①当矩形EFGH的面积随着t的增大而增大时，求t的取值范围；
②当矩形EFGH与△OAB有重叠，且重叠部分为轴对称图形时，求t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把抛物线整理成顶点式形式并求出顶点A的坐标，令y=0，解方程求出点B的坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式，然后利用方程组求出点C坐标即可．
（2）①分两种情形，当点E在点C左侧时，当点E在点C右侧时，分别构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．
②分三种情形，矩形EFGH为正方形时，根据抛物线和直线解析式表示出EF，再根据EF=FG列出方程求解即可；点H在AB上时，求出点E坐标即可；矩形EFGH关于抛物线对称轴对称时，根据轴对称的性质即可解决．

解答 解：（1）∵点B坐标（10，0），△ABO是等腰直角三角形，
∴点A坐标（5，-5），
设抛物线解析式为y=a（x-5）²-5，把B（10，0）代入得a=$\frac{1}{5}$，
∴抛物线解析式为y=$\frac{1}{5}$（x-5）²-5，即y=$\frac{1}{5}$x²-2x．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{3}x}\\{y=\frac{1}{5}{x}^{2}-2x}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{25}{3}}\\{y=-\frac{25}{9}}\end{array}\right.$，
∴点C坐标（$\frac{25}{3}$，-$\frac{25}{9}$）．

（2）①当点E在点C左侧时，EF=-$\frac{1}{3}$t-（$\frac{1}{5}$t²-2t）=-$\frac{1}{5}$t²+$\frac{5}{3}$t，
∵-$\frac{1}{5}$＜0，
∴当0＜t≤$\frac{25}{6}$时，EF随t的增大而增大，此时矩形EFGH的面积随着t的增大而增大．
当点E在点C右侧时，EF=（$\frac{1}{5}$t²-2t）-（-$\frac{1}{3}$t）=$\frac{1}{5}$t²-$\frac{5}{3}$t，
∵$\frac{1}{5}$＞0，
∴t≥$\frac{25}{6}$时，EFEF随t的增大而增大，
∵E在点C右侧，点P在线段BO上运动（不包括端点）
∴$\frac{25}{3}$＜t＜10时，EF随t的增大而增大，此时矩形EFGH的面积随着t的增大而增大．
综上所述，0＜t≤$\frac{25}{6}$或$\frac{25}{3}$＜t＜10时，矩形EFGH的面积随着t的增大而增大．

②如图1中，矩形EFGH为正方形时，

∵EF=FG，
∴-$\frac{1}{3}$t-（$\frac{1}{5}$t²-2t）=2，
解得t=$\frac{25-\sqrt{265}}{6}$或$\frac{25+\sqrt{265}}{6}$（舍弃），

如图2中，点H在AB上时，

设直线y=-$\frac{1}{3}$x与直线AB相交于点N，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{3}x}\\{y=x-10}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{15}{2}}\\{y=-\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
∴点N坐标（$\frac{15}{2}$，-$\frac{5}{2}$），
∵PE∥y轴，四边形EFGH为矩形，
∴EH∥x轴，
∴△NHE∽△NBO，
∴$\frac{NE}{ON}$=$\frac{EH}{OB}$=$\frac{2}{10}$=$\frac{1}{5}$，
∴点E坐标（6，-2），
∴6≤t＜$\frac{15}{2}$时，重叠部分是轴对称图形．

如图3中，矩形EFGH关于抛物线对称轴对称时，

此时点P横坐标t=5-1=4，
综上所述t=4或$\frac{25-\sqrt{265}}{6}$或6≤t＜$\frac{15}{2}$时，重叠部分是轴对称图形．

点评 本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，矩形的性质，轴对称的性质，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，难点在于要根据矩形EFGH的位置分情况讨论，属于中考压轴题．