Question

【题目】如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=，BC=16．点O在边BC上，以O为圆心，OB为半径的弧经过点A．P是弧AB上的一个动点．

(1)求半径OB的长；

(2)如果点P是弧AB的中点，联结PC，求∠PCB的正切值；

(3)如果BA平分∠PBC，延长BP、CA交于点D，求线段DP的长．

Answer 1

【答案】(1)OB=9；(2)∠PCB的正切值=(3)PD=．

【解析】

(1)根据勾股定理得到AB==12，如图1，过O作OH⊥AB于H，根据相似三角形的性质即可得到结论；

(2)如图2，连接OP交AB于H，根据垂径定理得到OP⊥AB，AH=BH=AB=6，根据勾股定理得到OH=3，过P作PM⊥OB于M，证明△OBH≌△OPM ，得到 根据三角函数的定义即可得到结论；

(3)如图3，过A作AE⊥BD于E，连接CP，根据角平分线的性质得到AE=AC=4，根据相似三角形的性质得到AD=，根据全等三角形的性质得到BE=BC=16，根据勾股定理和三角形的面积公式即可得到结论．

解：(1)∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=，BC=16，

∴AB==12，

如图1，过O作OH⊥AB于H，

则BH=AB=6，

∵∠BHO=∠ACB=90°，∠B=∠B，

∴△BHO∽△BCA，

∴，

∴=，

∴OB=9；

(2)如图2，连接OP交AB于H，

∵点P是弧AB的中点，

∴OP⊥AB，AH=BH=AB=6，

在Rt△BHO中，OH===3，

过P作PM⊥OB于M，

在△OBH与△OPM中，

∴△OBH≌△△OPM (AAS)，

∴∠PCB的正切值

(3)如图3，过A作AE⊥BD于E，连接CP，

∵BA平分∠PBC，AC⊥BC，

∴AE=AC=4，

∵∠AED=∠ACB=90°，∠D=∠D，

∴△ADE∽△BDC，

∴=，

设DE=x，

∴=，

∴AD=，

在Rt△ACB与Rt△AEB中， ，

∴Rt△ACB≌Rt△AEB(HL)，

∴BE=BC=16，

∵CD2+BC2=BD2，

∴(4+)2+162=(16+x)2，

解得：x=，

∴AD=，BD=16+=，

∴CD=，

∵BC是⊙的直径，

∴CP⊥BD，

∴CP===，

∴PD==．