Question

如图，抛物线与x轴交于点A（3，0），B（8，0），与y轴交于点C，且AC平分∠OCB，直线l是它的对称轴．
（1）求直线l和抛物线的解析式；
（2）直线BC与l相交于点D，沿直线l平移直线BC，与直线l，y轴分别交于点E，F，探究四边形CDEF为菱形时点E的坐标；
（3）线段CB上有一动点P，从C点开始以每秒一个单位的速度向B点运动，PM⊥BC，交线段CA于点M，记点P运动时间为t，△CPO与△CPM的面积之差为y，求y与t（0＜t≤6）之间的关系式，并确定在运动过程中y的最大值．　

Answer 1

解：（1）直线l的解析式x==．
如图，过A作AK⊥BC于点K，
∵AC平分∠OCB，
∴AK=OA=3，CK=OC，AB=5，
∴KB=4．
方法一：设OC=x则CB=x+4，由勾股定理得：x²+8²=（x+4）²，得x=6，
∴C的坐标为（0，6）．
方法二：由△ABK∽△CBO得，得OC=6，
∴C的坐标为（0，6）
设抛物线解析式为：y=a（x-3）（x-8），将点C坐标代入可得，
∴所求抛物线解析式为：，
即．
（2）方法一：
如图，记直线l与x轴交于点N，则NB=2.5，
∵在Rt△OBC中，tanB=，BC=，
cosB=，则DN=NB•tanB==，
DB==，
∴D点坐标为（，）．
CD=BC-DB=10-=即菱形边长为．+=，-=-5，
∴E点坐标为（，）或（，-5）．
方法二：四边形CDEF为菱形时，有两种情况：
①当BC往下平移时，由菱形性质知，点E₁即为直线CA与对称轴交点．
求得直线AC方程为：y=-2x+6，
与对称轴的交点为E₁（，-5）．
②当BC往上平移时，即D点往上平移菱形的边长个单位得E₂．
求得直线BC：，与对称轴交点D的纵坐标为y_D=，
菱形边长为y_D-y_E=-（-5）=，E₂点纵坐标为：+=．
∴四边形CDEF为菱形时，E₁（，-5），E₂（，）．
（3）过点P作PL⊥OC，垂足为L，则∠CPL=∠B，
而Rt△BOC中，sin∠B==，cos∠B=，
由题意得CP=t，则LP=CPcos∠B=，
△CPO的面积为：，
∵CA平分∠OCB，
∴∠MCP=∠OCA，
Rt△AOC中，tan∠OCA==，
∴PM=．
△CPM的面积为：，
∴ （0＜t≤6），
当时，y有最大值为．
分析：（1）利用A（3，0），B（8，0）的横坐标，求出直线l表达式，即3与8的平均数即为l的表达式；
（2）在Rt△ABC中，求出tanB=，BC=，cosB=，然后求出D点坐标，用BC-DB=10-=表示出CD的长，进而求出E点坐标；
（3）过点P作PL⊥OC，垂足为L，则∠CPL=∠B，由题意得CP=t，则LP=CP，表示出△CPO的面积为：，在Rt△AOC中，表示出△CPM的面积为，从而得到 （0＜t≤6），进而求出最大值．
点评：本题考查了二次函数综合题，涉及待定系数法求二次函数解析式、动点问题、函数最值、配方法等知识，是一道综合性很强的题目，有一定难度．