Question

15．如图，将?ABCD沿过点A的直线折叠，使点B落到AD边上的点F处，折痕为AE，连接FE、DE．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若DE平分∠ADC，四边形CDFE会是菱形吗？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由折叠的性质知，∠1=∠2，AB=AF，由平行四边形的性质得到AD∥BC，AD=BC，于是有∠2=∠3，进而得到∠1=∠3，根据等腰三角形的判定证得AB=BE，即可得到AF=BE，由于AF∥BE，即可证得结论；
（2）由线段的和差关系得到DF=CE，易证四边形CDFE是平行四边形，由∠4=∠5，∠4=∠6，得到∠5=∠6，根据等腰三角形的判定得到CD=CE，由菱形的判定即的结论．

解答 证明：（1）由折叠知，∠1=∠2，AB=AF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴AB=BE，
∴AF=BE，
∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是菱形；

（2）四边形CDFE会是菱形，
∵AD-AF=BC-BE，即DF=CE，DF∥CE，
∴四边形CDFE是平行四边形，
∵DE平分∠ADC，
∴∠4=∠5，
∵AD∥BC，
∴∠4=∠6，
∴∠5=∠6，
∴CD=CE，
∴?CDFE是菱形．

点评 本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，菱形的判定和性质，根据折叠的性质证得AB=BE是解题的关键．