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精英家教网已知正方形ABCD和等腰Rt△BEF，BE=EF，∠BEF=90°，按图放置，使点F在BC上，取DF的中点G，连接EG，CG．试探究EG，CG的位置关系与数量关系并证明．
分析：根据正方形的性质和题目的意思作辅助线，延长BE一定过B点，再由直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，求解即可．
解答：精英家教网解：EG⊥CG且EG=CG；
证明：连接BD，则∠DBC=45°，
又∵BE=EF∠BEF=90°，
∴∠EBF=45°=∠DBC，
∴D、E、B共线，
∴∠DEF=90°，
∵DG=FG，
∴EG=
1
2
DF，
同理CG=
1
2
DF，
∴EG=CG，
∵EG=GD，
∴∠3=∠5，
∴∠1=2∠3，
同理∠2=2∠4，
∴∠EGC=2（∠3+∠4）=90°，
∴EG⊥CG．
点评：本题考点是：正方形的性质、直角三角形的性质、外角的性质以及辅助线的作法．
练习册系列答案
相关题目
已知正方形ABCD和正方形AEFG有公共顶点A，将正方形AEFG绕点A旋转．
（1）发现与证明：
发现：①当E点旋转到DA的延长线上时（如图1），△ABE与△ADG的面积关系是：
 
．
②当E点旋转到CB的延长线上时（如图2），△ABE与△ADG的面积关系是：
 
．
证明：请你选择上述两个发现中的任意一个加以证明，选择①、②证明的满分分别为4分和6分．（注意：证明前要注明选择了哪一个发现）
（2）引申与运用：
引申：当正方形AEFG旋转任意一个角度时（如图3），△ABE与△ADG的面积关系是：
 
．
运用：已知△ABC，AB=5cm，BC=3cm，分别以AB、BC、CA为边向外作正方形（如图4），则图中阴影部分的面积和的最大值是
 
cm2．
证明：我选择
 
进行证明．
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24、已知正方形ABCD和正方形AEFG有一个公共点A，点G、E分别在线段AD、AB上．
（1）如图1，连接DF、BF，证明：BF=DF；
（2）若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，在旋转的过程中线段DF与BF的长还相等吗？若相等，请证明；若相不等，连接DG，在旋转的过程中，你能否找到一条线段的长与线段DG的长始终相等．并以图2为例说明理由．
已知正方形ABCD和正方形AEFG有公共顶点A，将正方形AEFG绕点A旋转．
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（1）发现：当E点旋转到DA的延长线上时（如图1），△ABE与△ADG的面积关系是：
 
．
（2）引申：当正方形AEFG旋转任意一个角度时（如图2），△ABE与△ADG的面积关系是：
 
．并证明你的结论．
（3）运用：已知△ABC，AB=5cm，BC=3cm，分别以AB、BC、CA为边向外作正方形（如图3），则图中阴影部分的面积和的最大值是
 
cm2．
精英家教网如图，已知正方形ABCD和EFCG，点E、F、G分别在线段AC、BC、CD上，正方形ABCD的边长为6．
（1）如果正方形EFCG的边长为4，求证：△ABE∽△CAG；
（2）正方形EFCG的边长为多少时，tan∠ABE×cot∠CAG=3．
已知正方形ABCD和正方形AEFG有公共顶点A，将正方形AEFG绕点A旋转．

（1）如图，当点E旋转到DA的延长线上时，△ABE与△ADG面积之间的关系为：S△ABE
=
=
S△ADG（填“＜”“=”“＞”）；
（2）如图，当正方形AEFG旋转任意一个角度时，S△ABE
=
=
S△ADG（填“＜”“=”“＞”），并说明理由；
（3）如图，四边形ABCD、四边形AEFG和四边形DGMN均为正方形，则S△ABE、S△ADG、S△CDN和S△GMF的关系是
相等
相等
．
（4）某小区中有一块空地，要在其中建三个正方形健身场所，其余空地（图中阴影部分）修成草坪，其中一个正方形的边长为6m．另外两个正方形的边长之和为10m，则草坪的最大面积为
48
48
m2．

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