Question

【题目】如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，点P为射线BD，CE的交点．

（1）问题提出：如图1，若AD＝AE，AB＝AC．

①∠ABD与∠ACE的数量关系为　 　；②∠BPC的度数为　 　．

（2）猜想论证：如图2，若∠ADE＝∠ABC＝30°，则（1）中的结论是否成立？请说明理由．

（3）拓展延伸：在（1）的条件中，若AB＝2，AD＝1，若把△ADE绕点A旋转，当∠EAC＝90°时，直接写出PB的长．

Answer 1

【答案】（1）①∠ABD＝∠ACE，②90°；（2）（1）中结论成立，见解析；（3）PB的长为或.

【解析】

（1）①依据等腰三角形的性质得到AB=AC，AD=AE，依据同角的余角相等得到∠DAB=∠CAE，然后依据“SAS”可证明△ADB≌△AEC，最后，依据全等三角形的性质可得到∠ABD=∠ACE；

②由三角形内角和定理可求∠BPC的度数；

（2）先判断出△ADB∽△AEC，即可得出结论；

（3）分为点E在AB上和点E在AB的延长线上两种情况画出图形，然后再证明△PEB∽△AEC，最后依据相似三角形的性质进行证明即可．

（1）①∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，

∴AB=AC，AD=AE，∠DAB=∠CAE．∠ABC=∠ACB=45°，

∴△ADB≌△AEC（SAS），

∴∠ABD=∠ACE．

②∵∠BPC=180°﹣∠ABD﹣∠ABC﹣∠BCP=180°﹣45°﹣（∠BCP+∠ACE），∴∠BPC=90°．

故答案为：∠ABD=∠ACE，90°．

（2）（1）中结论成立，理由如下：

在Rt△ABC中，∠ABC=30°，

∴ABAC．

在Rt△ADE中，∠ADE=30°，

∴ADAE，

∴．

∵∠BAC=∠DAE=90°，

∴∠BAD=∠CAE，

∴△ADB∽△AEC，

∴∠ABD=∠ACE；

∵∠BPC=180°﹣∠ABD﹣∠ABC﹣∠BCP=180°﹣30°﹣（∠BCP+∠ACE），∴∠BPC=90°；

（3）①如图，当点E在AB上时，BE=AB﹣AE=1．

∵∠EAC=90°，

∴CE．

同（1）可证△ADB≌△AEC，

∴∠DBA=∠ECA．

又∵∠PEB=∠AEC，

∴△PEB∽△AEC，

∴，

∴，

∴PB；

②如图，当点E在BA延长线上时，BE=AB+AE=3．

∵∠EAC=90°，

∴CE．

同（1）可证△ADB≌△AEC，

∴∠DBA=∠ECA．

∵∠BEP=∠CEA，

∴△PEB∽△AEC，

∴，

∴，

∴PB．

综上所述：PB的长为或．