Question

【题目】如图，△ABC是⊙O的内接三角形，CE⊥AB于点E，BD⊥AC于点D，BD、CE相交于点F，连结ED．

(1)若∠ABC=45°,证明AE=EF；

(2)求证：△AED∽△ACB；

(3)过点A的直线AM∥ED， AM是⊙O的切线吗？说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）是，证明见解析.

【解析】试题分析：（1）由ASA证明△BEF≌△CEA即可；

（2）先证明△AEC∽△ADB，得到AE：AD=AC：AB，再证明△AED∽△ACB即可；

（3）连接AO并延长交⊙O于N，连接NC．由△AED∽△ACB，得到∠ADE=∠ABC，由同弧所对的圆周角相等，得到∠ABC=∠N，等量代换得到∠ADE=∠N．由平行线的性质得到∠MAC=∠ADE，从而∠MAC=∠N．由AN为直径，得到∠CAN+∠N=90°，进而∠CAN+∠MAC=90°，即可得到结论．

试题解析：解：（1）∵∠ABC=45°，CE⊥AB，即∠BEC=90°，∴∠ECB=45°=∠EBC，∴EB=EC．

∵CE⊥AB，BD⊥AC，∴∠BEC=∠BDC=90°，∴∠EBF+∠EFB=90°，∠DFC+∠DCF=90°．

∵∠EFB=∠DFC，∴∠EBF=∠DCF．

在△BEF和△CEA中，∵∠FBE＝∠ACE，BE＝CE，∠BEF＝∠CEA＝90°，∴△BEF≌△CEA，∴AE=EF．

（2）∵∠EBF=∠DCF，∠A=∠A，∴△AEC∽△ADB，∴AE：AD=AC：AB．∵∠A=∠A，∴△AED∽△ACB；

（3）AM是⊙O的切线．理由如下：

连接AO并延长交⊙O于N，连接NC．∵△AED∽△ACB，∴∠ADE=∠ABC．∵∠ABC=∠N，∴∠ADE=∠N．∵AM∥ED，∴∠MAC=∠ADE，∴∠MAC=∠N．∵AN为直径，∴∠NCA=90°，∴∠CAN+∠N=90°，∴∠CAN+∠MAC=90°，∴∠MAO=90°，∴AM是⊙O的切线．