Question

△ABC是一个等边三角形，点P是△ABC内的一点，由P点分别向BC，CA和AB引垂线，PD，PE，PF，判断PD，PE，PF的和为常数吗？说明理由．

Answer 1

考点：等边三角形的性质

专题：

分析：设△ABC的边长为a，求出等边三角形的高，再根据△ABC的面积等于△PAB、△PBC、△PAC三个三角形面积的和，列式并整理即可得到PD+PE+PF等于三角形的高．

解答：解：PD，PE，PF的和为常数．
理由：设△ABC的边长为a
∵正三角形的边长为a，
∴高为a×sin60°=

3

2

a，
∴S_△ABC=

1

2

×a×

3

2

a=

3

4

a²，
∵PD、PE、PF分别为BC、AC、AB边上的高，
∴S_△PBC=

1

2

BC•PD，S_△PAC=

1

2

AC•PE，S_△PAB=

1

2

AB•PF，
∵AB=BC=AC，
∴S_△PBC+S_△PAC+S_△PAB=

1

2

BC•PD+

1

2

AC•PE+

1

2

AB•PF=

1

2

×2（PD+PE+PF）=PD+PE+PF，
∵S_△ABC=S_△PBC+S_△PAC+S_△PAB，
∴PD+PE+PF=

3

2

a，
∴PD，PE，PF的和为常数．

点评：本题考查的是等边三角形的性质，主要利用等边三角形三边相等的性质和三角形的面积等于被分体现了数学问题中由一般到特殊的解题思想．