题目内容

如图，把两个全等的腰长为8 的等腰直角三角形沿他们的斜边拼接得到四边形ABCD，N是斜边AC上一动点。
（Ⅰ）若E、F为AC的三等分点，求证：∠ADE= ∠CBF；
（Ⅱ）若M是DC上一点，且DM=2，求DN+MN的最小值；（注：计算时可使用如下定理：在直角△ABC中，若∠C=90°，则AB2=AC2+BC2）
（Ⅲ）若点P在射线BC上，且NB=NP，求证：NP⊥ND。

解：（Ⅰ）∵E、F为AC的三等分点，
∴AE=AC，CF=AC
∴AE=CF．
∵AB=BC，∠ABC=90°，
∵∠BAC= ∠BCA=45°．
同理∠DAC=45 °．
∴∠BCA= ∠DAC．
∵△ASC≌△CDA，
∴CB=AD．
∴在△ADE和△CBF中，
AE=CF，∠DAE= ∠BCF，AD=CB，
∴△ADE≌△CBF（SAS）
∴∠ADE= ∠CBF；
（Ⅱ）∵D、B关于AC对称，所以当B、N、M在一直线上时，DN+MN最小
∵AB=8,DM=2，
∴CM=6
在Rt △MCB中，∠MCB=90°，CM=6，BC=8，
根据题中定理可求出BM=10
∴DN+MN最小值为10
（Ⅲ）①当点P在线段BC上（P与B、C不重合）时，
∵NB=NP
∴∠NBP= ∠NPB
∵D、B关于AC对称，
∴∠NBP= ∠NDC
∴∠NPB+ ∠NPC= ∠NDC+ ∠NPC=180 °．
∴∠DNP=360 °- （∠BCD+ ∠NDC+ ∠NPC）=90°
∴NP⊥ND
②当点P与点C重合时，点N恰好在AC的中点处，
∵∠NDC= ∠NCD=45°
∴∠DNC=90°
∴NP⊥ND
③当点P在BC延长线上时，
∵NB=NP
∴∠NBP= ∠NPB
∴D、B关于AC对称， ∠NBP= ∠NDC
∴∠NPC= ∠NDC
∵∠DHN= ∠CHP，
∴∠DNP= ∠DCP=90°
∴NP⊥ND。