Question

 如图，把两个全等的腰长为8的等腰直角三角形沿他们的斜边拼接得到四边形ABCD，N是斜边AC上一动点．

(Ⅰ)若E、F为AC的三等分点，求证：∠ADE=∠CBF；

 

      (Ⅱ)若M是DC上一点，且DM=2，求DN+MN的最小值；

(注：计算时可使用如下定理：在直角△ABC中，若∠C=90°，则AB²=AC²+BC²．)

 

(Ⅲ)若点P在射线BC上，且NB=NP，求证：NP⊥ND．

Answer 1

(Ⅰ)证明：∵E、F为AC的三等分点，

　　 ∴AE=AC，CF=AC,∴AE=CF．

　　 ∵AB=BC，∠ABC=90°，

　　 ∵∠BAC=∠BCA=45°．

　 同理∠DAC=45°．

　 　∴∠BCA=∠DAC．

　　 ∵△ASC≌△CDA，

　 　∴CB=AD．

　　∴在△ADE和△CBF中，

　 　　 AE=CF，

　　　∠DAE=∠BCF，

　　　AD=CB，

　 　 ∴△ADE≌△CBF(SAS)．

　 　 ∴∠ADE=∠CBF．

(Ⅱ)∵D、B关于AC对称，所以当B、N、M在一直线上时，DN+MN最小．

　 　∵AB=8,DM=2，∴CM=6．

　 　在Rt△MCB中，∠MCB=90°，CM=6，BC=8，根据题中定理可求出BM=10．

　 　∴DN+MN最小值为10．

(Ⅲ)①当点P在线段BC上(P与B、C不重合)时，

　 ∵NB=NP, ∴∠NBP=∠NPB．

　 ∵D、B关于AC对称，

　 ∴∠NBP=∠NDC．

　 　∴∠NPB+∠NPC=∠NDC+∠NPC=180°．

　 　∴∠DNP=360°-(∠BCD+∠NDC+∠NPC)=90°．

　 　∴NP⊥ND．　 　②当点P与点C重合时，点N恰好在AC的中点处，

　 　∵∠NDC=∠NCD=45°,∴∠DNC=90°．

　 　∴NP⊥ND．

③当点P在BC延长线上时，

　　∵NB=NP,∴∠NBP=∠NPB．

　 　 ∴D、B关于AC对称,∠NBP=∠NDC．

　 　 ∴∠NPC=∠NDC．∵∠DHN=∠CHP，

　 　 ∴∠DNP=∠DCP=90°.∴NP⊥ND．