Question

等边三角形内部一点到三个顶点的距离分别是3、4、5，则这个等边三角形的边长的平方是

 

．

Answer 1

分析：设PB=3，PA=4，PC=5，将△PBC绕B点逆时针旋转60°至△BDA，根据旋转的性质得DB=PB=3，AD=CP=5，△DBP是等边三角形，得
∠DPB=60°；在△ADP中，AP²+DP²=4²+3²=25=AD²，根据勾股定理的逆定理得到∠APD=90°，然后作BE⊥AP于E，得BE=

1

2

BP=

3

2

，
PE=

3

2

3

，AE=4+

3

2

3

，最后利用勾股定理即可得到等边三角形的边长的平方．

解答：解：设PB=3，PA=4，PC=5，
将△PBC绕B点逆时针旋转60°至△BDA（如图），
∴DB=PB=3，AD=CP=5，△DBP是等边三角形，
∴∠DPB=60°，
在△ADP中，AP²+DP²=4²+3²=25=AD²，
∴∠APD=90°，
所以∠APB=150°；
作BE⊥AP于E（如图），
则∠BPE=30°，
∴BE=

1

2

BP=

3

2

，
∴PE=

3

2

3

，
∴AE=4+

3

2

3

∴AB2=BE2+AE2=(

3

2

)2+(4+

3

2

3

)2=25+12

3

．
故答案为25+12

3

．

点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了等边三角形的性质和勾股定理及其逆定理．