Question

（2012•石景山区二模）阅读下面材料：
小阳遇到这样一个问题：如图（1），O为等边△ABC内部一点，且OA：OB：OC=1：

2

：

3

，求∠AOB的度数．

小阳是这样思考的：图（1）中有一个等边三角形，若将图形中一部分绕着等边三角形的某个顶点旋转60°，会得到新的等边三角形，且能达到转移线段的目的．他的作法是：如图（2），把△ACO绕点A逆时针旋转60°，使点C与点B重合，得到△ABO′，连接OO′．则△AOO′是等边三角形，故OO′=OA，至此，通过旋转将线段OA、OB、OC转移到同一个三角形OO′B中．
（1）请你回答：∠AOB=

150

°．
（2）参考小阳思考问题的方法，解决下列问题：
已知：如图（3），四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=60°，∠DCB=30°，AC=5，CD=4．求四边形ABCD的面积．

Answer 1

分析：（1）利用△AOO′是等边三角形，得出∠AOO′=60°，再利用已知得出OO′²+BO²=OC²，即可求出∠BOO′=90°，即可得出答案；
（2）首先将△ADC绕点A顺时针旋转60°，使点D与点B重合，得到△ABO，连接CO，进而求出△ACO是等边三角形，再由S_{四边形ABCD}=S_△ACO-S_△BCO，求出即可．

解答：解：（1）∵△AOO′是等边三角形，
∴∠AOO′=60°，
∵OA：OB：OC=1：

2

：

3

，
∴设OA=x，则OB=

2

x，OC=

3

x，
∵CO=O′B，OO′=AO，
∴OO′²+BO²=x²+（

2

x）²=3x²，
OC²=3x²，
∴OO′²+BO²=OC²，
∴△BOO′是直角三角形，
∴∠BOO′=90°，
∴∠AOB=∠BOO′+∠AOO′=90°+60°=150°．
故答案为：150°；

（2）如图，将△ADC绕点A顺时针旋转60°，使点D与点B重合，
得到△ABO，连接CO．
∵AC=AO，∠CAO=60°，
∴△ACO是等边三角形，
可知CO=CA=5，BO=DC=4，∠ABO=∠ADC，
在四边形ABCD中，∠ADC+∠ABC=360°-∠DAB-∠DCB=270°，
∴∠OBC=360°-（∠ABC+∠ABO）=360°-270°=90°．
∴BC=

52-42

=3，
∴S_{四边形ABCD}=S_△ACO-S_△BCO
=

1

2

×5sin60°×5-

1

2

×3×4
=

25 3

4

-6．

点评：此题主要考查了旋转的性质以及勾股定理的逆定理和等边三角形的判定以及四边形、三角形面积求法等知识，得出∠OBC等于90°是解题关键．