Question

已知：抛物线y=-x²+2mx-4m-m²（m是常数）与x轴有两个交点．
（1）当m取最大整数时，求出此抛物线的解析式；
（2）设（1）中所求抛物线顶点为C，抛物线的对称轴与x轴交于点B，直线y=-x+3与x轴交于点A．点P为抛物线对称轴上一动点，过点P作PD⊥AC，垂足D在直线AC上．若S_△PAD=

1

4

S_△ABC，求出点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）先求出方程有两实数根时m的值，进而可求得此抛物线的解析式；
（2）先求出A、B、C三点的坐标，分别按照①点D在线段AC上②点D在AC的延长线上③点D在CA的延长线上三种情况时的点P的坐标．

解答：（1）解：∵抛物线与x轴交于两点，
∴△＞0．即（2m）²+4（-4m-m²）＞0
解得：m＜0
∴m＜0时，抛物线与x轴有两个交点．
当m取最大的整数时，
∴m=-1．
即y=-x²-2x+3

（2）抛物线顶点C（-1，4），对称轴与x轴的交点B（-1，0）．
直线y=-x+3与x轴交于点A，
A（3，0）
BA=BC，∠PCD=45°．
①当点D在线段AC上时，设PD=DC=x，
AC=4

2

根据题意，得

1

2

(4

2

-x)•x=

1

4

×

1

2

×4×4
解得，x=2

2

±2
当x=2

2

+2时，PC=

2

x=4+2

2

．
P（-1，-2

2

）
当x=2

2

-2时，PC=4-2

2

，
P（-1，2

2

）
②当点D在AC的延长线上时，设PD=DC=x，
根据题意，得

1

2

(4

2

+x)•x=

1

4

×

1

2

×4×4
解得，x=-2

2

±2

3

．
当x=-2

2

-2

3

＜0，舍去．
当x=-2

2

+2

3

时，PC=

2

x=-4+2

6

，
P（-1，2

6

）
③当点D在CA的延长线上时，设PD=DC=x，
根据题意，得

1

2

(x-4

2

)x=

1

4

×

1

2

×4×4．
解得，x=2

2

±2

3

．
当x=2

2

-2

3

＜0，舍去．
当x=2

2

+2

3

时，PC=

2

x=4+2

6

．
P（-1，-2

6

）、P（-1，-2

2

）、P（-1，2

2

）、P（-1，2

6

）、P（-1，-2

6

）．

点评：本题是二次函数的综合题，其中涉及到的知识点有抛物线的公式的求法和动点问题等知识点，是各地中考的热点和难点，解题时注意数形结合和分类讨论等数学思想的运用，同学们要加强训练，属于中档题．