Question

如图（1），在地面A、B两处测得地面上标杆PQ的仰角分别为30°、45°，且测得AB=3米，求标杆PQ的长
（2）在数学学习中要注意基本模型的应用，如图（2），是测量不可达物体高度的基本模型：在地面A、B两处测得地面上标杆PQ的仰角分别为α、β，且测得AB=a米．
设PQ=h米，由PA-PB=a可得关于h的方程

 

，解得h=

atanβ•tanα

tanβ-tanα

（3）请用上述基本模型解决下列问题：如图3，斜坡AP的倾斜角为15°，在A处测得Q的仰角为45°，要测量斜坡上标杆PQ的高度，沿着斜坡向上走10米到达B，在B处测得Q的仰角为60°，求标杆PQ的高．（结果可含三角函数）

Answer 1

分析：（1）设标杆PQ长为x米，在RT△PAQ中求出AP，在RT△PBQ中求出BP，然后根据PA-PB=AB得出方程，解出即可．
（2）分别表示出PA、PB，然后代入PA-PB=a即可得出答案．
（3）过点Q作QD⊥AP于点D，根据图形中的三角函数关系可表示出QD，继而RT△QPD中可表示出PQ．

解答：解：（1）如图1，设标杆PQ长为x米，
在RT△PAQ中，AP=

PQ

tan30°

=

3

x，
在RT△PBQ中，BP=

PQ

tan45°

=x
由PA-PB=AB，得

3

x-x=3，
解得x=

3 3 +3

2

≈4.1（3分）答：标杆PQ的长约为4.1；

（2）PA=

h

tanα

，PB=

h

tanβ

，
∴可得

h

tanα

-

h

tanβ

=a；

（3）过点Q作QD⊥AP于点D，

∠QAP=30°，∠QBP=45°，AB=10米，由（2）得，QD=

10tan30°•tan45°

tan45°-tan30°

在RT△QPD中，∠QPD=75°，
PQ=

QD

sin75°

=

10tan30°•tan45°

sin75°(tan45°-tan30°)

=

10 3

sin75°•(3- 3)

．

点评：本题考查解直角三角形的应用，难度较大，解答本题的关键是掌握各三角函数在直角三角形中的表示形式．