题目内容

如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为（-3，0）、（0，4），抛物线y= $数学公式$ +bx+c经过B点，且顶点在直线x= $数学公式$ 上．
（1）求抛物线对应的函数关系式；
（2）若△DCE是由△ABO沿x轴向右平移得到的，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；
（3）在（2）的前提下，若M点是CD所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点M作MN平行于y轴交CD于点N．设点M的横坐标为t，MN的长度为l．求l与t之间的函数关系式，并求l取最大值时，点M的坐标．

解：（1）∵抛物线y= $\text{[math]}$ +bx+c的顶点在直线x= $\text{[math]}$ 上，
∴可设所求抛物线对应的函数关系式为y= $\text{[math]}$ +m
∵点B（0，4）在此抛物线上，
∴4= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ +m
∴m=- $\text{[math]}$
∴所求函数关系式为：y= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ x+4

（2）在Rt△ABO中，OA=3，OB=4，
∴AB= $\text{[math]}$ =5
∵四边形ABCD是菱形
∴BC=CD=DA=AB=5
∴C、D两点的坐标分别是（5，4）、（2，0）；
当x=5时，y= $\text{[math]}$ ×5²- $\text{[math]}$ ×5+4=4
当x=2时，y= $\text{[math]}$ ×2²- $\text{[math]}$ ×2+4=0
∴点C和点D在所求抛物线上；

（3）设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b′，
则 $\text{[math]}$ ；
解得： $\text{[math]}$ ；
∴y= $\text{[math]}$ x- $\text{[math]}$
∵MN∥y轴，M点的横坐标为t，
∴N点的横坐标也为t；
则y_M= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ t+4，y_N= $\text{[math]}$ t- $\text{[math]}$ ，
∴l=y_N-y_M= $\text{[math]}$ t- $\text{[math]}$ -（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ t+4）=- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ t- $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$
∵- $\text{[math]}$ ＜0，
∴当t= $\text{[math]}$ 时，l_最大= $\text{[math]}$ ，y_M= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ t+4= $\text{[math]}$ ．
此时点M的坐标为（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）．
分析：（1）已知了抛物线上A、B点的坐标以及抛物线的对称轴方程，可用待定系数法求出抛物线的解析式．
（2）首先求出AB的长，将A、B的坐标向右平移AB个单位，即可得出C、D的坐标，再代入抛物线的解析式中进行验证即可．
（3）根据C、D的坐标，易求得直线CD的解析式；那么线段MN的长实际是直线BC与抛物线的函数值的差，可将x=t代入两个函数的解析式中，得出的两函数值的差即为l的表达式，由此可求出l、t的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出l取最大值时，点M的坐标．
点评：此题考查了一次函数、二次函数解析式的确定，菱形的性质，图象的平移变换，二次函数的应用等知识．