Question

3．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，M为对角线BD延长线上一点，连接AM和CM，E为CM上一点，且满足CB=CE，连接BE，交CD于点F．
（1）若∠AMB=30°，且DM=3，求BE的长；
（2）证明：AM=CF+DM．

Answer 1

分析 （1）首先证明∠MAB=90°，再证明△BMA≌△BMC，推出∠BCE=90°，利用勾股定理即可解决问题．
（2）如图2中，在BD上取一点G，使得BG=DF，连接CG交BE于O．只要证明△GBC≌△FDB，MG=MC即可解决问题．

解答 （1）解：如图1中，

∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，
∴△ABD，△BCD的是等边三角形，
∴∠ABD=∠CBD=∠ADB=∠BAD=60°，BA=BC，
∵∠AMB=30°，∠ADB=∠AMB+∠DAM，
∴∠DAM=∠DMA=30°，
∴∠BAM=90°，DA=DM=AB=BC=CE=3，
在△BMA和△BMC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BM=BM}\\{∠MBA=∠MBC}\\{BA=BC}\end{array}\right.$，
∴△BMA≌△BMC，
∴∠BCM=∠BAM=90°，
在Rt△BCE中，BE=$\sqrt{B{C}^{2}+C{E}^{2}}$=3$\sqrt{2}$．

（2）如图2中，在BD上取一点G，使得BG=DF，连接CG交BE于O．

∵BG=DF，∠CBG=∠BDF，BD=BC，
∴△GBC≌△FDB，
∴∠BGC=∠BFD，∠DBF=∠BCG，
∴∠MGC=∠BFC，
∵∠COF=∠CBO+∠OCB=∠CBO+∠DBF=60°
在△COE中，∠ECO+∠EOC+∠CEO=180°，
在△BCF中，∠BFC+∠CBF+∠BCF=180°，
∵CB=CE，
∴∠CBE=∠CEO，∵∠BCF=∠COE=60°，
∴∠ECO=∠BFC=∠MGC，
∴MC=MG，
由（1）可知△BMA≌△BMC，
∴AM=MC=MG，
∵MG=DG+DM，
∵BD=CD，BG=DF，
∴DG=CF，
∴AM=CF+DM

点评 本题考查菱形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线（截长补短法），构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．