Question

（2013•杭州一模）如图，?ABCD中，AC⊥AB．AB=6cm，BC=10cm，E是CD上的点，DE=2CE．点P从D点出发，以1cm/s的速度沿DA→AB→BC运动至C点停止．则当△EDP为等腰三角形时，运动时间为

10

3

或4或（27.2-

4 21

5

）

s．

Answer 1

分析：先求出DE、CE的长，再分①点P在AD上时，PD=DE，列式求解即可；PD=PE时，根据等腰三角形三线合一的性质，过点P作PF⊥CD于F，根据AC⊥AB可得AC⊥CD，然后求出△ACD和△PFD相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出PD，从而得解；②点P在BC上时，利用勾股定理求出AC的长，过点A作AF⊥BC于F，过点E作EG⊥BC的延长线于G，根据三角形的面积求出AF的长，再利用勾股定理列式求出BF的长，然后求出△ABF和△ECG相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出EG、CG，利用勾股定理列式求出PG，然后求出CP，再求出点P运动的路程，然后求出时间即可．

解答：解：在?ABCD中，∵AB=6cm，
∴CD=AB=6cm，
∵DE=2CE，
∴DE=4cm，CE=2cm，
①点P在AD上时，若PD=DE，则t=4，
若PD=PE，如图1，过点P作PF⊥CD于F，
∵AC⊥AB，
∴AC⊥CD，
∴△ACD∽△PFD，
∴

AD

PD

=

CD

FD

，
即

10

PD

=

6

2

，
解得PD=

10

3

，
②点P在BC上时PE=DE=4，
∵AC⊥AB，AB=6cm，BC=10cm，
∴AC=

BC2-AB2

=

102-62

=8，
过点A作AF⊥BC于F，过点E作EG⊥BC的延长线于G，
S_△ABC=

1

2

×6×8=

1

2

×10AF，
解得AF=4.8，
根据勾股定理，BF=

AB2-AF2

=

62-4.82

=3.6，
∵平行四边形ABCD的边AB∥CD，
∴∠B=∠ECG，
又∵∠AFB=∠EGC=90°，
∴△ABF∽△ECG，
∴

AB

EC

=

AF

EG

=

BF

CG

，
即

6

2

=

4.8

EG

=

3.6

CG

，
解得EG=1.6，CG=1.2，
根据勾股定理，PG=

PE2-EG2

=

42-1.62

=

4 21

5

，
∴PC=PG-CG=

4 21

5

-1.2，
点P运动的路程为10+6+10-（

4 21

5

-1.2）=27.2-

4 21

5

，
∵点P的速度为1cm/s，
∴点P运动的时间为

10

3

秒或4秒或27.2-

4 21

5

秒．
故答案为：

10

3

或4或27.2-

4 21

5

．

点评：本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，综合题，难点在于要分情况讨论．