题目内容

（2013•杭州一模）如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P以1cm/秒的速度沿折线BE-ED-DC运动到点C时停止，点Q以2cm/秒的速度沿BC运动到点C时停止．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图；
（2）（其中曲线OG为抛物线的一部分，其余各部分均为线段），则下列结论：
①当0＜t≤5时，y=
4
5
t2；②当t=6秒时，△ABE≌△PQB；③cos∠CBE=
1
2
；④当t=
29
2
秒时，△ABE∽△QBP；
其中正确的是（　　）
分析：根据图（2）可以判断三角形的面积变化分为四段，①当点P在BE上运动，点Q到达点C时；②当点P到达点E时，点Q静止于点C，从而得到BC、BE的长度；③点P到达点D时，点Q静止于点C；④当点P在线段CD上，点Q仍然静止于点C时．
解答：解：
根据图（2）可得，当点P到达点E时点Q到达点C，
∵点P、Q的运动的速度分别是1cm/秒、2cm/秒
∴BC=BE=10，
∴AD=BC=10．
又∵从M到N的变化是4，
∴ED=4，
∴AE=AD-ED=10-4=6．
∵AD∥BC，
∴∠1=∠2，
∴cos∠1=cos∠2=
AE
BE
=
6
10
=
3
5
．
故③错误；
如图1，过点P作PF⊥BC于点F，
∵AD∥BC，
∴∠1=∠2，
∴sin∠1=sin∠2=
AB
BE
=
8
10
=
4
5
，
∴PF=PB•sin∠1=
4
5
t，
∴当0＜t≤5时，y=
1
2
BQ•PF=
1
2
×2t×
4
5
t=
4
5
t2，故①正确；
如图3，当t=6秒时，点P在BE上，点Q静止于点C处．
在△ABE与△PQB中，
AE=BP=6
∠1=∠2
BE=BC
，
∴△ABE≌△PQB（SAS）．
故②正确；
如图4，当t=
29
2
秒时，点P在CD上，此时，PD=
29
2
-BE-ED=
29
2
-10-4=
1
2
，
PQ=CD-PD=8-
1
2
=
15
2
，
∵
AB
AE
=
8
6
=
4
3
，
BQ
PQ
=
10
15
2
=
4
3
，
∴
AB
AE
=
BQ
PQ

又∵∠A=∠Q=90°，
∴△ABE∽△QBP，故④正确．
综上所述，正确的结论是①②④．
故选D．
点评：本题考查了动点问题的函数图象，根据图（2）判断出点P到达点E用了10s，点Q到达点C用了5s是解题的关键，也是本题的突破口．
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20
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4
4
．

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