题目内容
【题目】如图，在ABCD中，
，
，
，点E为CD上一动点，经过A、C、E三点的
交BC于点F．
（操作与发现）
当E运动到
处，利用直尺与规作出点E与点F；
保留作图痕迹
在的条件下，证明：
．
（探索与证明）
点E运动到任何一个位置时，求证：；
（延伸与应用）
点E在运动的过程中求EF的最小值．
【答案】
作图见解析；
证明见解析；
证明见解析；
EF最小值为
.
【解析】
当
，此时AC是
的直径，作出AC的中点O后，以OA为半径作出即可作出点E、F；
易知AC为直径，则
，
，从而得证；
如图，作
，
，若E在DN之间，由可知，
，然后再证明
∽
，从而可知
，若E在CN之间时，同理可证；
由于A、F、C、E四点共圆，所以
，由于四边形ABCD为平行四边形，
，从而可证
为等腰直角三角形，所以
，由于
，所以E与N重合时，FE最小．
如图1所示，
如图，易知AC为直径，则
，
则
，
，
如图，作
，
，若E在DN之间
由可知，
、F、C、E四点共圆，
，
，
，
，
∽
，
若E在CN之间时，同理可证
、F、C、E四点共圆，
，
四边形ABCD为平行四边形，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
与N重合时，FE最小，
此时
，
在
中，
，则
由勾股定理可知：
此时EF最小值为.
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