Question

如图，直线AB与x轴、y轴分别交于点A、B，AB = 5，cos∠OAB =，直线分别与直线AB、x轴、y轴交于点C、D、E．

⑴求证：∠OED =∠OAB；

⑵直线DE上是否存在点P，使△PBE与△AOB相似，若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）在Rt△OAB中，∵AB=5，=，

∴OA=4，OB=3，∴=．

令，则，∴OE=1．

令，则，∴，∴OD=．

∴=．

∴= 

∵∠EOD=∠AOB=90°，

∴△EOD∽△AOB，

∴=．

（2）分两种情况：

当∠EBP与∠AOB是对应角时，如图1，则∠EBP=∠AOB=90°．

由（1）知，=，OA=BE=4，

∴△BEP≌△AOB，

∴BP=OB=3，将代入中，得，

∴点P（3，3）．当∠EBP与∠ABO是对应角时，如图2，则∠EBP=∠ABO．

∵=，∴△ EPB∽△AOB．

∵点P和点D都在直线CD上，

∴点C即为点P．

设直线AB解析式为．

将点A（4，0），点B（0，3）代入中，得

，∴，∴，

∴，∴，∴点P（，）．