Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，二次函数交轴于A、B两点，（点A在点B的左侧）与y轴交于点C，连接AC．

（1）求点A、点B和点C的坐标；

（2）若点D为第四象限内抛物线上一动点，点D的横坐标为m，△BCD的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；

（3）抛物线的对称轴上是否存在点P，使△BCP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1），，；（2）；（3）存在，，，，，

【解析】

（1）分别使，，代入求解即可；

（2）设D点坐标为，利用，化简求值即可；

（3）设出点的坐标为（），利用两点间的距离公式求出线段、、的长度，根据等腰三角形的性质分类讨论即可求出值，从而得出点的坐标．

（1）当时，，解得，，

又∵A在B的左侧，

∴，，

当时，，

∴．

（2）∵D的横坐标为m，D在抛物线上．

∴D的纵坐标为，

∴，

∵点D在第四象限，∴，，

如图示，连接OD，

∵，

，

．

∴

，

∴当时，；

（3）答：存在这样的的．

理由：∵ ，两点的坐标分别为：，，

∴对称轴为：，

∴设点的坐标为，

根据，可得：

，

，

．

∴为等腰三角形分三种情况：

①当时，即，

解得：，

此时点的坐标为，，；

②当时，即，

解得：，

此时点的坐标为或；

③当时，即，

解得：，

此时点的坐标为；

综上可知：在抛物线的对称轴上存在点，使是等腰三角形，点的坐标为，，，，．