Question

如图，抛物线与x轴交于点A（﹣，0）、点B（2，0），与y轴交于点C（0，1），连接BC．

（1）求抛物线的函数关系式；

（2）点N为抛物线上的一个动点，过点N作NP⊥x轴于点P，设点N的横坐标为t（﹣＜t＜2），求△ABN的面积S与t的函数关系式；

（3）若﹣＜t＜2且t≠0时△OPN∽△COB，求点N的坐标．

Answer 1

解：（1）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，由题可得：

，

解得：，

∴抛物线的函数关系式为y=﹣x²+x+1；

（2）当﹣＜t＜2时，yN＞0，

∴NP==y_N=﹣t²+t+1，

∴S=AB•PN

=×（2+）×（﹣t²+t+1）

=（﹣t²+t+1）

=﹣t²+t+；

（3）∵△OPN∽△COB，

∴=，

∴=，

∴PN=2PO．

①当﹣＜t＜0时，PN==y_N=﹣t²+t+1，PO==﹣t，

∴﹣t²+t+1=﹣2t，

整理得：3t²﹣9t﹣2=0，

解得：t₁=，t₂=．

∵＞0，﹣＜＜0，

∴t=，此时点N的坐标为（，）；

②当0＜t＜2时，PN==y_N=﹣t²+t+1，PO==t，

∴﹣t²+t+1=2t，

整理得：3t²﹣t﹣2=0，

解得：t₃=﹣，t₄=1．

∵﹣＜0，0＜1＜2，

∴t=1，此时点N的坐标为（1，2）．

综上所述：点N的坐标为（，）或（1，2）．