Question

已知：三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC的中点

（1）如图，E，F分别是AB，AC上的点，且BE=AF，求证：△DEF为等腰直角三角形。
（2）若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE=AF，其他条件不变，那么，△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论。

Answer 1

（1）连结AD，因为AB=AC，∠BAC=90°D为BC的中点                 所以AD⊥BC ，BD=AD，所以∠B=∠DAC=45°                又BE=AF，所以△BDE≌△ADF         所以ED=FD，∠BDE=∠ADF                 所以∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EDA+∠BDE=∠BDA=90°                所以△DEF为等腰直角三角形 （2）若E，F分别是AB，CA延长线上的点，如图所示                 连结AD，因为AB=AC，∠BAC=90°，D为BC的中点                所以AD=BD，AD⊥BC，所以∠DAC=∠ABD=45°          所以∠DAF=∠DBE=135°                又AF=BE，所以△DAF≌△DBE          所以FD=ED，∠FDA=∠EDB                所以∠EDF=∠EDB+∠FDB=∠FDA+∠FDB=∠ADB=90°                所以△DEF仍为等腰直角三角