Question

如图，已知△ABC中，AB=AC，以AB为直径画圆，交BC于D，交AC于E，过D作DF⊥CE，垂足为F．由上述条件（不另增字母或添线），请你写出三个你认为是正确的结论（不要求证明）．
①

 

；
②

 

；
③

 

．

Answer 1

分析：根据圆周角定理可得∠ADB=90°，即AD⊥BC；
等腰△ABC中，根据等腰三角形三线合一的性质，可证得BD=DC，且∠BAD=∠CAD；
由圆内接四边形的性质易知：∠DEC=∠B=∠C，因此△DEC也是等腰三角形，同上，也可证得EF=FC，∠FDE=∠CDF；而∠FDC=∠BAC，因此∠FDE=∠FDC=∠BAD=∠CAD；
在Rt△ACD中，DF⊥AC，易证得△CFD∽△CDA；同理可证得△CFD∽△DFA∽△BAD等．
本题可得出的结论较多，答案不唯一．

解答：解：∵AB为直径，∴AD⊥BC；
△ABC中，AB=AC，AD⊥BC；
∴AD是底边BC的中线，也是顶角∠BAC的角平分线；（等腰三角形三线合一）
∴BD=DC，∠BAD=∠DAC；①
∵AB=AC，
∴∠B=∠C；
∵四边形ABDE是圆的内接四边形，
∴∠DEC=∠B，∠EDC=∠BAC；
∴∠DEC=∠C；
∴DE=DC；又DF⊥CE，
∴∠EFD=FDC=

1

2

∠EDC=

1

2

∠BAC=∠BAD=∠CAD；②
∵∠FDC=∠DAC，∠DFC=∠ADC=90°，
∴△DFC∽△ADC；
同理可证得△EFD∽△ADF∽△ACD等．③

点评：本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识的综合应用．