Question

【题目】抛物线与轴交于、两点，与轴交于，点为抛物线上一动点，过点作平行交抛物线于，、两点间距离为

求的解析式；

取线段中点，连接，当最小时，判断以点、、、为顶点的四边形是什么四边形；

设为轴上一点，在的基础上，当时，求点的坐标．

Answer 1

【答案】(1) 直线解析式为(2) 四边形是菱形，理由见解析；（3）点的坐标为和

【解析】

（1）先求得点A、B、C的坐标，再用待定系数法求出直线BC解析式即可；

（2）根据m最小时，直线PQ和抛物线只有一个交点，设直线解析式由直线PQ和抛物线只有一个交点，联立解析式可得，根据△=0求得b值，即可求得直线解析式及点P的坐标，再利用两点间的距离公式得出BM=OP=OM，即可判断出四边形POMB是菱形；（3）确定出直线PQ解析式，分点在轴负半轴上和

点在轴正半轴两种情况求点N的坐标．

∵抛物线与轴交于、两点，与轴交于，

∴，

令，则，∴或，

∴，，

∴直线解析式为，

四边形是菱形，

理由：如图，

∵、两点间距离为，且最小，即：，此时直线和抛物线只有一个交点，

∵平行，

∴设直线解析式①，

∵②，

联立①②得，，

∴，∴，

∴直线解析式为，，

∴直线过原点，

∴，

∴，

∵，，取线段中点，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴四边形是平行四边形，

∵，

∴，

∴平行四边形是菱形；

由知，，，

∴直线解析式为，

∴

①当点在轴负半轴上时，

∵，

∴是的角平分线，

∴，

设，

∵，

∴，，，，

∴，

∴（舍）或，

∴，

②当点在轴正半轴时，由对称性得出，

即点的坐标为和．