Question

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，E为AB上一点，且ED平分∠ADC，EC平分∠BCD．
求证：（1）AE=BE；   （2）CD=AD+BC．

Answer 1

【答案】分析：（1）取CD中点F，连接EF，根据平行线性质求出∠ADC+∠DCB=180°，根据角平分线性质求出∠EDC+∠DCE=90°根据三角形的内角和定理求出∠DEC=90°，推出EF=CF=DF，推出∠DEF=∠FDE=∠ADE，推出EF∥AD∥BC，根据CF=DF推出即可；
（2）由（1）得出EF是梯形的中位线，推出EF=（AD+BC），由（1）得出EF=CF=DF=CD，即可得出答案．
解答：（1）证明：如图所示：

取CD中点F，连接EF，
∵AD∥BC，
∴∠ADC+∠DCB=180°，
∵DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，
∴∠EDC=∠ADE=∠ADC，∠DCE=∠DCB，
∴∠EDC+∠DCE=90°，
∴∠DEC=180°-90°=90°，
∵F为CD中点，
∴DF=EF=CF（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∴∠CDE=∠DEF，
∵∠EDC=∠ADE，
∴∠ADE=∠DEF，
∴AD∥EF，
∵AD∥BC，
∴AD∥EF∥BC，
∵CF=DF，
∴AE=BE；

（2）证明：∵AD∥BC，AE=BE，CF=DF，
∴EF=（AD+BC），
∵由（1）知EF=DF=CF=CD，
∴CD=AD+BC．
点评：本题考查的知识点有梯形的中位线，三角形的内角和定理，角平分线性质，平行线的性质和判定，直角三角形斜边上中线性质等，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．