Question

将一副三角板放在同一平面，使直角顶点重合于点O．
（1）如图1，△BOD保持不动，把△AOC绕着点O旋转，使得AO∥BD，求∠AOD的度数．
（2）当△AOC与△BOD重叠时，直接写出∠AOB与∠DOC的大小关系．
（3）如图1，若∠AOB=145°，求∠DOC的度数．你发现∠AOB与∠DOC存在怎样的数量关系？用式子直接表示出来．
（4）如图2，当△AOC与△BOD不重叠时，（3）中∠AOB与∠DOC关系式是否成立，请简要说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据平行线的性质得到∠AOB=180°-∠B=180°-30°=150°，再利用∠AOD=∠AOB-∠BOD进行计算即可；
（2）由∠AOB=∠AOC+∠BOC，∠DOC=∠BOD-∠BOC易得∠AOB+∠DOC=180°；
（3）先计算出∠BOC=145°-90°=55°，再根据∠DOC=∠BOD-∠BOC=90°-55°=35°，则有∠AOB+∠DOC=180°；
（4）利用周角定义得∠AOB+∠COD+∠AOC+∠BOD=360°，而∠AOC=∠BOD=90°，即可得到∠AOB+∠DOC=180°．

解答：解：（1）∵AO∥BD，
∴∠AOB=180°-∠B=180°-30°=150°，
而∠BOD=90°，
∴∠AOD=150°-90°=60°；
（2）∠AOB+∠DOC=180°；
（3）∵∠AOB=145°，
而∠AOC=90°，
∴∠BOC=145°-90°=55°，
∴∠DOC=∠BOD-∠BOC=90°-55°=35°；  
∠AOB与∠DOC存在的数量关系为：∠AOB+∠DOC=180°；
（4）∠AOB+∠DOC=180°仍然成立．
理由如下：∠AOB+∠COD+∠AOC+∠BOD=360°，
又∵∠AOC=∠BOD=90°，
∴∠AOB+∠DOC=180°．

点评：本题考查了角度的计算：利用几何图形计算角的和与差．