Question

如图，抛物线y=与x轴交于A、C两点，与y轴交于B点．

（1）求△AOB的外接圆的面积；
（2）若动点P从点A出发，以每秒1个单位沿射线AC方向运动；同时，点Q从点B出发，以每秒0.5个单位沿射线BA方向运动，当点P到底点C处时，两点同时停止运动．问当t为何值时，以A、P、Q为顶点的三角形与△OAB相似？
（3）若M为线段AB上一个动点，过点M作MN平行于y轴交抛物线于点N．问：是否存在这样的点M，使得四边形OMNB恰为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）由题意得：A（6，0），B（0，-8），
∴OA=6，OB=8，
∴AB=10     
∴S=π•（5）²=25π．         

（2）设AP=t，则AQ=10-0.5t，
∵A（6，0），C（-2，0），
∴AC=8，
∴0≤t≤8
若△APQ∽△AOB，则=．即∴t=．        
若△AQP∽△AOB，则=．∴t=＞8（舍去）
∴当t=时，以A、P、Q为顶点的三角形与△OAB相似．

（3）直线AB的函数关系式为y=x-8．       
∵MN∥y轴，
∴设点M的横坐标为x，则M（x，x-8），N（x，x²-x-8）．
若四边形OMNB为平行四边形，则MN=OB=8
∴（x-8）-（x²-x-8）=8，即x²-6x+12=0，
∵△＜0，
∴此方程无实数根，
∴不存在这样的点M，使得四边形OMNB恰为平行四边形．
分析：（1）先求出AB两点的坐标，根据勾股定理得出AB的长，进而得出结论；
（2）设AP=t，则AQ=10-0.5t，再根据△APQ∽△AOB与△AQP∽△AOB两种情况进行讨论；
（3）设点M的横坐标为x，则M（x，x-8），N（x，x²-x-8），四边形OMNB为平行四边形，则MN=OB=8，再根据△＜0即可得出结论．
点评：本题考查的是二次函数综合题，涉及到抛物线与x轴的交点问题、相似三角形的判定与性质等知识，难度适中．