Question

如图，抛物线y=与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求点A、B的坐标；
（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标；
（3）若直线l过点E（4，0），M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）A、B点为抛物线与x轴交点，令y=0，解一元二次方程即可．
（2）根据题意求出△ACD中AC边上的高，设为h．在坐标平面内，作AC的平行线，平行线之间的距离等于h．根据等底等高面积相等，可知平行线与坐标轴的交点即为所求的D点．
从一次函数的观点来看，这样的平行线可以看做是直线AC向上或向下平移而形成．因此先求出直线AC的解析式，再求出平移距离，即可求得所作平行线的解析式，从而求得D点坐标．
注意：这样的平行线有两条，如答图1所示．
（3）本问关键是理解“以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个”的含义．
因为过A、B点作x轴的垂线，其与直线l的两个交点均可以与A、B点构成直角三角形，这样已经有符合题意的两个直角三角形；第三个直角三角形从直线与圆的位置关系方面考虑，以AB为直径作圆，当直线与圆相切时，根据圆周角定理，切点与A、B点构成直角三角形．从而问题得解．
注意：这样的切线有两条，如答图2所示．
解答：解：（1）令y=0，即=0，
解得x₁=-4，x₂=2，
∴A、B点的坐标为A（-4，0）、B（2，0）．

（2）抛物线y=的对称轴是直线x=-=-1，
即D点的横坐标是-1，
S_△ACB=AB•OC=9，
在Rt△AOC中，AC===5，
设△ACD中AC边上的高为h，则有AC•h=9，解得h=．
如答图1，在坐标平面内作直线平行于AC，且到AC的距离=h=，这样的直线有2条，分别是l₁和l₂，则直线与对称轴x=-1的两个交点即为所求的点D．
设l₁交y轴于E，过C作CF⊥l₁于F，则CF=h=，
∴CE==．
设直线AC的解析式为y=kx+b，将A（-4，0），C（0，3）坐标代入，
得到，解得，
∴直线AC解析式为y=x+3．
直线l₁可以看做直线AC向下平移CE长度单位（个长度单位）而形成的，
∴直线l₁的解析式为y=x+3-=x-．
则D₁的纵坐标为×（-1）-=，∴D₁（-1，）．
同理，直线AC向上平移个长度单位得到l₂，可求得D₂（-1，）
综上所述，D点坐标为：D₁（-1，），D₂（-1，）．

（3）如答图2，以AB为直径作⊙F，圆心为F．过E点作⊙F的切线，这样的切线有2条．
连接FM，过M作MN⊥x轴于点N．
∵A（-4，0），B（2，0），
∴F（-1，0），⊙F半径FM=FB=3．
又FE=5，则在Rt△MEF中，
ME==4，sin∠MFE=，cos∠MFE=．
在Rt△FMN中，MN=MF•sin∠MFE=3×=，
FN=MF•cos∠MFE=3×=，则ON=，
∴M点坐标为（，）
直线l过M（，），E（4，0），
设直线l的解析式为y=kx+b，则有
，解得，
所以直线l的解析式为y=x+3．
同理，可以求得另一条切线的解析式为y=x-3．
综上所述，直线l的解析式为y=x+3或y=x-3．
点评：本题解题关键是二次函数、一次函数以及圆等知识的综合运用．难点在于第（3）问中对于“以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个”条件的理解，这可以从直线与圆的位置关系方面入手解决．本题难度较大，需要同学们对所学知识融会贯通、灵活运用．