Question

已知抛物线与轴的一个交点为A(-1,0)，与y轴的正半轴交于点C．

⑴直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与轴的另一个交点B的坐标；

⑵当点C在以AB为直径的⊙P上时，求抛物线的解析式；

⑶坐标平面内是否存在点，使得以点M和⑵中抛物线上的三点A、B、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

 

  

Answer 1

解：⑴对称轴是直线：，点B的坐标是(3,0)． ……2分

说明：每写对1个给1分，“直线”两字没写不扣分．

⑵如图，连接PC，∵点A、B的坐标分别是A(-1,0)、B (3,0)，

∴AB＝4．∴

在Rt△POC中，∵OP＝PA－OA＝2－1＝1，

∴

∴b＝    ………………………………3分

当时，

∴　 ………………………………4分

∴   ………………5分

⑶存在．……………………………6分

理由：如图，连接AC、BC．设点M的坐标为．

①当以AC或BC为对角线时，点M在x轴上方，此时CM∥AB，且CM＝AB．

由⑵知，AB＝4，∴|x|＝4，．

∴x＝±4．∴点M的坐标为．…9分

说明：少求一个点的坐标扣1分．

②当以AB为对角线时，点M在x轴下方．

过M作MN⊥AB于N，则∠MNB＝∠AOC＝90°．

∵四边形AMBC是平行四边形，∴AC＝MB，且AC∥MB．

∴∠CAO＝∠MBN．∴△AOC≌△BNM．∴BN＝AO＝1，MN＝CO＝．

∵OB＝3，∴0N＝3－1＝2．

∴点M的坐标为．            ……………………………12分

说明：求点M的坐标时，用解直角三角形的方法或用先求直线解析式，

然后求交点M的坐标的方法均可，请参照给分．

综上所述，坐标平面内存在点，使得以点A、B、C、M为顶点的四边形是平行四边形．其坐标为．

说明：①综上所述不写不扣分；②如果开头“存在”二字没写，但最后解答全部正确，不扣分。