Question

如图，等腰梯形ABCD中，AD=2，AB=4，∠C=60°，对角线BD上有任意一点P（P点不与点B、D重合）且PE∥BC交CD于点E，PF∥CD交AD与点F，则阴影部分的面积是

 

．

Answer 1

分析：首先根据平行四边形的定义确定四边形PEDF是平行四边形，根据平行四边形的性质，易得△POF≌△DOE，即得S_阴影=S_△DBC；根据等腰三角形的性质，求得梯形的高与梯形的下底即可．

解答：解：∵PE∥BC，PF∥CD，
∴四边形PEDF是平行四边形，
∴OP=OD，OE=OF，
∵∠POF=∠DOE，
∴△POF≌△DOE，
∴S_阴影=S_△DBC，
过点D作DM∥AB，DN⊥BC于点N，
∵AD∥BC，
∴四边形ABMD是平行四边形，
∴BM=AD=2，DM=AB=4，
∵AB=CD，
∴DM=CD，
∴MN=CM，
∵∠C=60°，
∴∠CDN=30°，
∴CN=2，DN=2

3

，
∴BC=6，
∴S_阴影=S_△DBC=

1

2

BC•DN=

1

2

×6×2

3

=6

3

．

点评：此题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰梯形的性质以及直角三角形的性质等知识．解题的关键是注意平移梯形的腰是梯形中的常见辅助线．