Question

【题目】如图，△ABC中，AC＝BC＝a，AB＝b，以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点E，过点D作⊙O的切线MN，交CB的延长线于点M，交AC于点N.

（1）求证：MN⊥AC；

（2）连接BE，写出求BE长的思路.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

（1）连接OD、CD，由BC是直径可知∠BDC＝90°，易证OD是△ABC的中位线，从而可知OD∥AC，由切线的性质可知：∠MNC＝∠MDO＝90°，从而得证.

（2）由于∠BEC＝90°，AB与AC的长度已知，利用勾股定理即可求出CD的长度，然后利用等面积即可求出BE的长度.

解：（1）连接 OD，CD，

∵BC 是⊙O 的直径，

∴∠BDC＝90°，即CD⊥AB，

∵AC＝BC，∴D是AB的中点，

又∵O 为 BC的中点，

∴OD∥AC，

∵MN是⊙O 的切线，

∴OD⊥MN，

∴∠MNC＝∠MDO＝90°，

∴MN⊥AC；

（2）由BC 是⊙O 的直径，可得∠BEC＝90°；

由CD⊥AB，在 Rt△ACD 中，用勾股定理可求CD的长，

由ABCD＝2S△ABC＝ACBE，可得BE的长.