Question

边长为1的正三角形ABC的中心O，以O为圆心，在正三角形内画一个圆，（⊙O），再作⊙O₁，⊙O₂，⊙O₃，分别与正三角形的两边及⊙O都相切，试求，这四个面积总和的最大值与最小值，并指出面积总和取最值时对应的⊙O的半径．

Answer 1

分析：设圆O的半径为x，已知圆O₁，圆O₂，圆O₃的半径相等，设其为z，由AO₁=2z，AO=

3

3

，得：3z+x=

3

3

，∴z=

3

9

-

x

3

，表示出四圆面积之和即可求出答案．

解答：解：设圆O的半径为x，已知圆O₁，圆O₂，圆O₃的半径相等，设其为z，由AO₁=2z，AO=

3

3

，
得：3z+x=

3

3

，
∴z=

3

9

-

x

3

，
设四个圆面积之和为y，则y=πx²+3π(

3

9

-

x

3

)2=

4π

3

(x-

3

12

)2+

π

12

，
不难得到x的取值范围为

3

3

-3

3 -1

4

≤x≤

3

6

，
∴x=

3

12

时，y_min=

π

12

，x=

3

6

时，y_max=

π

9

，
故当圆O的半径为

3

12

时，四圆面积和取最小值

π

12

；
当圆O的半径为

3

6

时，四圆面积和取最大值

π

9

．

点评：本题考查了相切两圆的性质，难度较大，关键是先求出x的取值范围，再确定y的最值．