Question

如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+c经过A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）三点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足点为E，连接AE．

（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；

（2）如果P点的坐标为（x，y），△PAE的面积为S，求S与x之间的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值；

（3）在（2）的条件下，当S取到最大值时，过点P作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，把△PEF沿直线EF折叠，点P的对应点为点P′，求出P′的坐标，并判断P′是否在该抛物线上．

Answer 1

    解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c经过A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）三点，

∴，

解得 ，

∴解析式为y=﹣x²﹣2x+3

∵﹣x²﹣2x+3=﹣（x+1）²+4，

∴抛物线顶点坐标D为（﹣1，4）．

（2）∵A（﹣3，0），D（﹣1，4），

∴设AD为解析式为y=kx+b，有 ，

解得 ，

∴AD解析式：y=2x+6，

∵P在AD上，

∴P（x，2x+6），

∴S_△APE=•PE•y_P=•（﹣x）•（2x+6）=﹣x²﹣3x（﹣3＜x＜﹣1），当x=﹣=﹣时，S取最大值．

（3）如图1，设P′F与y轴交于点N，过P′作P′M⊥y轴于点M，

∵△PEF沿EF翻折得△P′EF，且P（﹣，3），

∴∠PFE=∠P′FE，PF=P′F=3，PE=P′E=，

∵PF∥y轴，

∴∠PFE=∠FEN，

∵∠PFE=∠P′FE，

∴∠FEN=∠P′FE，

∴EN=FN，

设EN=m，则FN=m，P′N=3﹣m．

在Rt△P′EN中，

∵（3﹣m）²+（）²=m²，

∴m=．

∵S△P′EN=•P′N•P′E=•EN•P′M，

∴P′M=．

在Rt△EMP′中，

∵EM==，

∴OM=EO﹣EM=，

∴P′（，）．

当x=时，y=﹣（）²﹣2•+3=≠，

∴点P′不在该抛物线上．