Question

20．如图，已知抛物线y=-x²+bx+C的图象过点A（-3，0），C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）探究：在抛物线的对称轴DE上是否存在点P，使得点P到直线AD和到x轴的距离相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）探究：在对称轴DE左侧的抛物线上是否存在点F，使得2S_△FBC=3S_△EBC？若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）把A、C两点坐标代入可求得b、c，可求得抛物线解析式；
（2）当点P在∠DAB的平分线上时，过P作PM⊥AD，设出P点坐标，可表示出PM、PE，由角平分线的性质可得到PM=PE，可求得P点坐标；当点P在∠DAB外角平分线上时，同理可求得P点坐标；
（3）可先求得△FBC的面积，过F作FQ⊥x轴，交BC的延长线于Q，可求得FQ的长，可设出F点坐标，表示出B点坐标，从而可表示出FQ的长，可求得F点坐标．

解答 解：
（1）∵二次函数y=-x²+bx+c经过点A（-3，0），点C（0，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=3}\\{-9-3b+c=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式y=-x²-2x+3，
（2）存在，
当P在∠DAB的平分线上时，如图1，作PM⊥AD，

设P（-1，m），则PM=PD•sin∠ADE=$\frac{\sqrt{5}}{5}$（4-m），PE=m，
∵PM=PE，
∴$\frac{\sqrt{5}}{5}$（4-m）=m，m=$\sqrt{5}$-1，
∴P点坐标为（-1，$\sqrt{5}$-1）；
当P在∠DAB的外角平分线上时，如图2，作PN⊥AD，

设P（-1，n），则PN=PD•sin∠ADE=$\frac{\sqrt{5}}{5}$（4-n），PE=-n，
∵PN=PE，
∴$\frac{\sqrt{5}}{5}$（4-n）=-n，n=-$\sqrt{5}$-1，
∴P点坐标为（-1，-$\sqrt{5}$-1）；
综上可知存在满足条件的P点，其坐标为（-1，$\sqrt{5}$-1）或（-1，-$\sqrt{5}$-1）；
（3）∵抛物线的解析式y=-x²-2x+3，
∴B（1，0），
∴S_△EBC=$\frac{1}{2}$•EB•OC=3，
∵2S_△FBC=3S_△EBC，
∴S_△FBC=$\frac{9}{2}$，
过F作FQ⊥x轴于点H，交BC的延长线于Q，过F作FM⊥y轴于点M，如图3，

∵S_△FBC=S_△BQH-S_△BFH-S_△CFQ
=$\frac{1}{2}$•HB•HQ-$\frac{1}{2}$•BH•HF-$\frac{1}{2}$QF•FM
=$\frac{1}{2}$•BH（HQ-HF）-$\frac{1}{2}$•QF•FM
=$\frac{1}{2}$•BH•QF-$\frac{1}{2}$QF•FM
=$\frac{1}{2}$•QF•（BH-FM）
=$\frac{1}{2}$•FQ•OB
=$\frac{9}{2}$，
∴FQ=9，
∵BC的解析式为y=-3x+3，
设F（x₀，-x₀²-2x₀+3），
∴-3x₀+3+x₀²+2x₀-3=9，
解得：x₀=$\frac{1-\sqrt{37}}{2}$或$\frac{1+\sqrt{37}}{2}$（舍去），
∴点F的坐标是（$\frac{1-\sqrt{37}}{2}$，$\frac{3\sqrt{37}-15}{2}$）．

点评 本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、角平分线的性质、三角函数、三角形面积等知识点．在（1）中注意待定系数法的应用步骤，在（2）中注意分点P在∠DAB的角平分线上和在外角的平分线上两种情况，在（3）中求得FQ的长是解题的关键．本题所考查知识点较多，综合性很强，难度适中．