题目内容

如图，将边长为3的正六边形A₁A₂A₃A₄A₅A₆，在直线l上由图1的位置按顺时针方向向右作无滑动滚动，当A₁第一次滚动到图2位置时，顶点A₁所经过的路径的长为

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$

A
分析：连A₁A₅，A₁A₄，A₁A₃，作A₆C⊥A₁A₅，利用正六边形的性质分别计算出A₁A₄=6，A₁A₅=A₁A₃=3 $\text{[math]}$ ，而当A₁第一次滚动到图2位置时，顶点A₁所经过的路径分别是以A₆，A₅，A₄，A₃，A₂为圆心，以3，3 $\text{[math]}$ ，6，3 $\text{[math]}$ ，3为半径，圆心角都为60°的五条弧，然后根据弧长公式进行计算即可．
解答：

解：连接A₁A₅，A₁A₄，A₁A₃，作A₆C⊥A₁A₅，如图，
∵六边形A₁A₂A₃A₄A₅A₆为正六边形，
∴A₁A₄=6，∠A₁A₆A₅=120°，
∴∠CA₁A₆=30°，
∴A₆C= $\text{[math]}$ ，A₁C= $\text{[math]}$ ，
∴A₁A₅=A₁A₃=3 $\text{[math]}$ ，
当A₁第一次滚动到图2位置时，顶点A₁所经过的路径分别是以A₆，A₅，A₄，A₃，A₂为圆心，
以3，3 $\text{[math]}$ ，6，3 $\text{[math]}$ ，3为半径，圆心角都为60°的五条弧，
∴顶点A₁所经过的路径的长= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =（4+2 $\text{[math]}$ ）π．
故选A．
点评：本题考查了弧长的计算，掌握弧长的计算公式l= $\text{[math]}$ 是解答本题的关键，另外要掌握正六边形的性质及旋转的性质，有一定难度．