题目内容
如图，△ABC中，∠ACB=2∠ABC，求证：AB2=AC2+AC•BC．
分析：延长AC至D，使CD=BC，连接BD，根据等腰三角形底角相等的性质可证∠D=∠ABC，可证△ABC∽△ADB，得
=
化简得AB2=AC2+AC•CD，即可解题．
| AB |
| AC |
| AD |
| AB |
解答：
证明：延长AC至D，使CD=BC，连接BD，
∵BC=CD，
∴∠CBD=∠CDB，
∵∠ACB=2∠ABC，∠ACB=∠CBD+∠CDB，
∴∠D=∠ABC，∠A=∠A，
∴△ABC∽△ADB，
∴
=
，
即AB2=AC•AD=AC（AC+CD）=AC2+AC•BC．
证明：延长AC至D，使CD=BC，连接BD，∵BC=CD，
∴∠CBD=∠CDB，
∵∠ACB=2∠ABC，∠ACB=∠CBD+∠CDB，
∴∠D=∠ABC，∠A=∠A，
∴△ABC∽△ADB，
∴
| AB |
| AC |
| AD |
| AB |
即AB2=AC•AD=AC（AC+CD）=AC2+AC•BC．
点评：本题考查了相似三角形对应边比值相等的性质，考查了相似三角形的判定，考查了等腰三角形底角相等的性质，本题中求证△ABC∽△ADB是解题的关键．
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