Question

如图（1），点M、N分别是正方形ABCD的边AB、AD的中点，连接CN、DM．

（1）判断CN、DM的数量关系与位置关系，并说明理由；

（2）如图（2），设CN、DM的交点为H，连接BH，求证：△BCH是等腰三角形；

（3）将△ADM沿DM翻折得到△A′DM，延长MA′交DC的延长线于点E，如图（3），求tan∠DEM．

           图1                  图2                  图3

Answer 1

（1）CN＝DM，CN⊥DM，

      证明：∵点M、N分别是正方形ABCD的边AB、AD的中点

            ∴AM＝DN.AD＝DC.∠A＝∠CDN

            ∴△AMD≌△DNC，

            ∴CN＝DM．∠CND＝∠AMD

           ∴∠CND+∠NDM＝∠AMD+∠NDM＝90⁰

           ∴CN⊥DM

           ∴CN＝DM，CN⊥DM

（2）证明：延长DM、CB交于点P．

∵ AD∥BC ，∴∠MPC＝∠MDA，∠A＝∠MBP

∵ MA＝MB △AMD≌△BMP，∴ BP＝AD＝BC．

    ∵∠CHP＝90⁰  ∴BH＝BC，即△BCH是等腰三角形

（3）∵AB∥DC  ∴∠EDM＝∠AMD＝∠DME   ∴EM＝ED

     设AD＝A′D＝4k，则A′M＝AM＝2k，

     ∴DE＝EA′+2k．在Rt△DA′E中，A′D²+A′E²＝DE²

         ∴（4k）²+A′E²＝（EA′+2k）²解得A′E＝3k，

     ∴tan∠DEM＝A′D：A′E＝．