题目内容
大家在学完勾股定理的证明后发现运用“同一图形的面积不同表示方式相同”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为面积法．学有所用：在等腰三角形ABC中，AB=AC，其一腰上的高为h，M是底边BC上的任意一点，M到腰AB、AC的距离分别为h1、h2．（1）请你结合图形来证明：h1+h2=h；
（2）当点M在BC延长线上时，h1、h2、h之间又有什么样的结论．请你画出图形，并直接写出结论不必证明；
（3）利用以上结论解答，如图在平面直角坐标系中有两条直线l1：y=
x+3，l2：y=-3x+3，若l2上的一点M到l1的距离是
．求点M的坐标．
【答案】分析：（1）根据S△ABC=S△ABM+S△AMC即可求出答案；
（2）h1-h2=h；
（3）先求得△ABC为等腰三角形，再根据（1）（2）的结果分（ⅰ）当点M在BC边上时，（ⅱ）当点M在CB延长线上时，求得M的坐标．
解答：
（1）证明：连接AM，由题意得h1=ME，h2=MF，h=BD，
∵S△ABC=S△ABM+S△AMC，
S△ABM=
×AB×ME=
×AB×h1，
S△AMC=
×AC×MF=
×AC×h2，
又∵S△ABC=
×AC×BD=
×AC×h，AB=AC，
∴
×AC×h=
×AB×h1+
×AC×h2，
∴h1+h2=h．
（2）解：如图所示：（5分）
h1-h2=h．（7分）
（3）解：在y=
x+3中，令x=0得y=3；令y=0得x=-4，
所以A（-4，0），B（0，3）同理求得C（1，0）．
AB=
=5，AC=5，所以AB=AC，
即△ABC为等腰三角形．（9分）．
（ⅰ）当点M在BC边上时，由h1+h2=h得：
+My=OB，My=3-
=
，
把它代入y=-3x+3中求得：Mx=
，
所以此时M（
，
）．（10分）
（ⅱ）当点M在CB延长线上时，由h1-h2=h得：My-
=OB，My=3+
=
，
把它代入y=-3x+3中求得：Mx=-
，
所以此时M（-
，
）．（11分）．
综合（ⅰ）、（ⅱ）知：点M的坐标为M（
，
）或（-
，
）．（12分）
点评：（1）（2）的结果容易得到，解答（3）时，注意要灵活应用（1）（2）的结果．
（2）h1-h2=h；
（3）先求得△ABC为等腰三角形，再根据（1）（2）的结果分（ⅰ）当点M在BC边上时，（ⅱ）当点M在CB延长线上时，求得M的坐标．
解答：
（1）证明：连接AM，由题意得h1=ME，h2=MF，h=BD，∵S△ABC=S△ABM+S△AMC，
S△ABM=
×AB×ME=
×AB×h1，S△AMC=
×AC×MF=
×AC×h2，又∵S△ABC=
×AC×BD=
×AC×h，AB=AC，∴
×AC×h=
×AB×h1+
×AC×h2，
∴h1+h2=h．
（2）解：如图所示：（5分）
h1-h2=h．（7分）
（3）解：在y=
x+3中，令x=0得y=3；令y=0得x=-4，所以A（-4，0），B（0，3）同理求得C（1，0）．
AB=
=5，AC=5，所以AB=AC，即△ABC为等腰三角形．（9分）．
（ⅰ）当点M在BC边上时，由h1+h2=h得：
+My=OB，My=3-
=
，把它代入y=-3x+3中求得：Mx=
，所以此时M（
，
）．（10分）（ⅱ）当点M在CB延长线上时，由h1-h2=h得：My-
=OB，My=3+
=
，把它代入y=-3x+3中求得：Mx=-
，所以此时M（-
，
）．（11分）．综合（ⅰ）、（ⅱ）知：点M的坐标为M（
，
）或（-
，
）．（12分）点评：（1）（2）的结果容易得到，解答（3）时，注意要灵活应用（1）（2）的结果．
练习册系列答案
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x+3，l2：y=-3x+3，若l2上的一点M到l1的距离是
．求点M的坐标．
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