Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，C是线段OB上的一点（不与点B重合），D，E是半圆上的点且CD与BE交于点F,用①，②DC⊥AB，③FB=FD中的两个作为题设，余下的一个作为结论组成一个命题，则组成真命题的个数为（ ）

A.0B.1C.2D.3

Answer 1

【答案】D

【解析】

连接OE、OD，

（1）当，DC⊥AB时，由圆周角定理可得∠EOD=∠DOB，根据等腰三角形的性质可得OF⊥BE，由CD⊥AB可得∠OFB=∠OCD=90°，利用AAS可证明△OCD≌OFB，可得∠ODC=∠OBF，根据等腰三角形的性质可得∠OBD=∠ODB，利用角的和差关系可得∠FBD=∠FDB，即可证明FB=FD；

（2）当，FB=FD时，同（1）可得OF⊥BE，根据等腰三角形的性质可得∠OBD=∠ODB，∠FBD=∠FDB，利用角的和差关系可得∠ODC=∠OBF，利用ASA可证明△OCD≌OFB，可得∠OFB=∠OCD=90°，可得DC⊥AB；

（3）当DC⊥AB，FB=FD时，同（2）可得△OCD≌OFB，由DC⊥AB可得∠OFB=∠OCD=90°，根据垂径定理可得，综上即可得答案.

如图，连接OE、OD，

（1）当，DC⊥AB时，

∵，OD为半径，

∴∠EOD=∠DOB，

∵OE=OB，

∴OF⊥BE，

∴∠OFB=90°，

∵DC⊥AB，

∴∠DCB=∠OFB=90°，

在△OCD和△OFB中，，

∴△OCD≌△OFB，

∴∠ODC=∠OBF，

∵OD=OB，

∴∠ODB=∠OBD，

∴∠OBD-∠OBF=∠ODB-∠ODC，即∠FDB=∠FBD，

∴FB=FD.

（2）当，FB=FD时，

∵，OD为半径，

∴∠EOD=∠DOB，

∵OE=OB，

∴OF⊥BE，

∴∠OFB=90°，

∵OD=OB，FB=FD，

∴∠ODB=∠OBD，∠FDB=∠FBD，

∴∠ODC=∠OBF，

在△OCD和△OFB中，，

∴△OCD≌△OFB，

∴∠OCD=∠OFB=90°，

∴DC⊥AB.

（3）当DC⊥AB，FB=FD时，

∵DC⊥AB，

∴∠OCD=90°，

∵OD=OB，FB=FD，

∴∠ODB=∠OBD，∠FDB=∠FBD，

∴∠ODC=∠OBF，

在△OCD和△OFB中，，

∴△OCD≌△OFB，

∴∠OFB=∠OCD=90°，

∴OD⊥BE，

∵OD是半径，

∴.

综上所述，组成真命题的个数为3，

故选：D.