Question

【题目】如图，在中，，点为边的中点．

（1）尺规作图：作出以为直径的圆交于点，连接，．（保留作图痕迹，不写作法）

（2）求证：是圆的切线．

（3）当 时，四边形是平行四边形，此时，四边形的形状为 ．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3），正方形

【解析】

（1）先做出线段BC的垂直平分线线，确定圆心O，然后以OB为半径画圆即可；

（2）由BC为直径，D为AC的中点得到OD∥AB,然后根据平行线的性质和全等三角形的判定和性质证明即可；

（3）根据平行四边形的判定和平行线的性质即可确定∠ABC的度数；先说明为菱形，再说明其为正方形即可．

解：（1）如图

；

（2）证明：如图:连接，

∵点为边的中点，点为圆心.

∴，

∴，

∵，

∴

∴

∵，

∴

∴

∴是圆的切线

（3）由(2)得,

要使四边形是平行四边形,则DE∥OB

∴∠AED=∠B

∴∠AED=∠OEB

又∵∠DEO=90°

∴当45°时，四边形是平行四边形

∵

∴∠AED=∠ODE=∠OEB=∠B

∴OE=DE

又∵

∴CD=DE

∴CD=DE=OE=OC

∴四边形是菱形

又∵∠OCD=90°

∴四边形是正方形

故答案为：45°,正方形.