Question

（2013•镇江）如图，五边形ABCDE中，AB⊥BC，AE∥CD，∠A=∠E=120°，AB=CD=1，AE=2，则五边形ABCDE的面积等于

13 3

4

．

Answer 1

分析：延长DC，AB交于点F，作AG∥DE交DF于点G，四边形AFDE是等腰梯形，且∠F=∠D=60°，△AFG是等边三角形，四边形AGDE是平行四边形，求得等腰梯形AFDE的面积和△BCF的面积，二者的差就是所求五边形的面积．

解答：解：延长DC，AB交于点F，作AG∥DE交DF于点G．
∵AE∥CD，∠A=∠E=120°，
∴四边形AFDE是等腰梯形，且∠F=∠D=60°，△AFG是等边三角形，四边形AGDE是平行四边形．
设BF=x，
∵在直角△BCF中，∠BCF=90°-∠F=30°
∴FC=2x，
∴FD=2x+1．
∵平行四边形AGDE中，DG=AE=2，
∴FG=2x-1，
∵△AFG是等边三角形中，AF=FG，
∴x+1=2x-1，
解得：x=2．
在直角△BCF中，BC=BF•tanF=2

3

，
则S_△BCF=

1

2

BF•BC=

1

2

×2×2

3

=2

3

．
作AH⊥DF于点H．
则AH=AF•sinF=3×

3

2

=

3 3

2

，
则S_梯形AFDE=

1

2

（AE+DF）•AH=

1

2

×（2+5）•

3 3

2

=

21 3

4

．
∴S_{五边形ABCDE}=S_梯形AFDE-S_△BCF=

21 3

4

-2

3

=

13 3

4

．
故答案是：

13 3

4

．

点评：本题考查了等腰梯形的判定与性质，直角三角形的性质，正确求得BF的长是关键．