Question

如图，矩形ABCO的对角线AC、OB交于点A₁，直线AC的解析式为y=

3

3

x+2，过点A₁作A₁O₁⊥OC于O₁，过点A₁作A₁B₁⊥BC于B₁，得到第二个矩形A₁B₁CO₁，A₁C、O₁B₁交于点A₂，过点A₂作A₂O₂⊥OC于O₂，过点A₂作A₂B₂⊥BC于B₂，得到第三个矩形A₂B₂CO₂，…，依此类推，这样作的第n个矩形对角线交点A_n的坐标为

（（

1

2

）^n-1•

3

-2

3

，（

1

2

）^n-1）

．

Answer 1

分析：根据矩形的性质，以及相似三角形的判定方法，可以证得：△A_nCO_n∽△ACO，相似比是（

1

2

）ⁿ．即可求得AnOn，OO_n的长，从而求得点A_n的坐标．

解答：解：在y=

3

3

x+2中，令x=0解得：y=2；
令y=0，解得：x=-2

3

，
则OC=2

3

，OA=2．
∵A1是矩形ABCO的对角线的交点，OA1∥OA，
∴△A1CO1∽△ACO，相似比是

1

2

；
同理，△A₂CO₂∽△A₁CO₁，相似比是

1

2

；
则△A₂CO₂∽△ACO，相似比是

1

4

=（

1

2

）²，
同理：△A_nCO_n∽△ACO，相似比是（

1

2

）ⁿ．
∴

AnOn

OA

=

COn

OC

=（

1

2

）ⁿ．
∴AnOn=（

1

2

）ⁿ•OA=（

1

2

）ⁿ×2=（

1

2

）^n-1．
OC_n=（

1

2

）ⁿ×OC=（

1

2

）n×2

3

=（

1

2

）^n-1•

3

，OO_n=2

3

-（

1

2

）^n-1•

3

，
则点A_n的坐标为（（

1

2

）^n-1•

3

-2

3

，（

1

2

）^n-1）

点评：本题考查了矩形的性质以及相似三角形的判定与性质，正确理解：△A_nCO_n∽△ACO，相似比是（

1

2

）ⁿ是关键．