Question

【题目】已知函数y1＝2kx+k与函数，定义新函数y＝y2﹣y1

（1）若k＝2，则新函数y＝　 　；

（2）若新函数y的解析式为y＝x2+bx﹣2，则k＝　 　，b＝　 　；

（3）设新函数y顶点为（m，n）．

①当k为何值时，n有大值，并求出最大值；

②求n与m的函数解析式；

（4）请你探究：函数y1与新函数y分别经过定点B，A，函数的顶点为C，新函数y上存在一点D，使得以点A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出k的值．

Answer 1

【答案】（1）x2﹣6x+1；（2）5，﹣12；（3）①；② n＝﹣m2﹣m+4；（4）或﹣或﹣．

【解析】

（1）把代入 再把代入新函数即可得到答案，

（2）利用新函数的定义，结论关于的方程组即可得到答案，

（3）①利用新函数的定义，写出函数解析式，化为顶点式，利用二次函数的性质可得答案，②利用顶点坐标，消去

得到答案，

（4）先分别求解的坐标，设，分三种情况讨论，利用平行四边形的对角线互相平分及中点坐标公式可得答案．

解：（1）当k＝2时，y1＝2kx+k＝4x+2，

∵函数，定义新函数y＝y2﹣y1，

∴y＝x2﹣2x+3﹣4x﹣2＝x2﹣6x+1，

故答案为：x2﹣6x+1；

（2）函数y1＝2kx+k与函数，定义新函数y＝y2﹣y1，

∴新函数y的解析式为y＝x2﹣2x+3﹣2kx﹣k＝x2﹣2（k+1）x+3﹣k，

∵新函数y的解析式为y＝x2+bx﹣2，

∴b＝，3﹣k＝﹣2，

∴k＝5，b＝﹣12，

故答案为：5，﹣12；

（3）①由（2）知，新函数y＝x2﹣2（k+1）x+3﹣k＝（x﹣k﹣1）2﹣k2﹣3k+2，

∵新函数y顶点为（m，n），

∴

∴，

当时，的最大值

②由①知，

将k＝m﹣1代入n＝﹣k2﹣3k+2得：

∴n＝﹣m2﹣m+4；

（4）∵函数y1＝2kx+k＝k（2x+1），

当2x+1＝0即x＝时，y＝0，

∴A（，0），

∵新函数y＝x2﹣2（k+1）x+3﹣k＝x2﹣2（k+1）x﹣（k+1）+4＝x2﹣（k+1）（2x+1）+4，

当2x+1＝0，即x＝时，y＝

∴B，

∵函数

∴C（1，2），

设D（c，d），

∵以点A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，

∴①当BC与AD为对角线时，

∴

∴D（1，），

将点D坐标代入新函数y＝x2﹣2（k+1）x+3﹣k，

得，1﹣2（k+1）+3﹣k＝，

∴

②当AB与CD是对角线时，

∴D（），

将点D坐标代入新函数y＝x2﹣2（k+1）x+3﹣k

得，4+4（k+1）+3﹣k＝，

∴k＝，

③当AC与BD为对角线时，

∴

∴D（1，），

将点D坐标代入新函数y＝x2﹣2（k+1）x+3﹣k

得，1﹣2（k+1）+3﹣k＝，

∴k＝，

即满足条件的k的值为或或．