Question

Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，P为△ABC所在平面上一点，PA=PB，且S_△PBC=S_△ABC，求PA的长．

Answer 1

分析：利用勾股定理列式求出AB的长度，根据等底等高的三角形面积相等可得点P到BC的距离等于点A到BC的距离相等，然后分①点A、P在BC的同侧时，PA∥BC，过点P作PD⊥AB于点D，根据等腰三角形三线合一的性质可得点D是AB的中点，然后求出AD的长，再利用∠PAD的余弦值列式求解即可；②点A、P在BC异侧时，过点P作PD⊥AB于D，根据等腰三角形三线合一的性质可得点D是AB的中点，过点D作DE∥BC，过点P作PE⊥BC相交于点E，先求出PE的长度，再根据同角的余角相等求出∠PDE=∠BAC，然后利用∠PDE的余弦值列式求解即可得到PD，在Rt△APD中，利用勾股定理列式进行计算即可得解．

解答：解：∵∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=

AC2+BC2

=

62+82

=10，
∵S_△PBC=S_△ABC，
∴点P到BC的距离等于AC的长度，为6，
①如图1，点A、P在BC的同侧时，∵点A、P到BC的距离相等，
∴PA∥BC，
∴∠PAD=∠ABC，
过点P作PD⊥AB于点D，
∵PA=PB，
∴AD=

1

2

AB=

1

2

×10=5，
∵cos∠PAD=

AD

PA

=

5

PA

，cos∠ABC=

BC

AB

=

8

10

=

4

5

，
∴

5

PA

=

4

5

，
解得PA=

25

4

；
②如图2，点A、P在BC异侧时，过点P作PD⊥AB于D，
∵PA=PB，
∴AD=

1

2

AB=

1

2

×10=5，
过点D作DE∥BC，过点P作PE⊥BC相交于点E，
∵点D是AB的中点，
∴点E到BC的距离为

1

2

AC=

1

2

×6=3，
∴PE=3+6=9，
∵∠BAC+∠ADE=90°，∠ADE+∠PDE=90°，
∴∠PDE=∠BAC，
∵cos∠PDE=

PE

PD

=

9

PD

，cos∠BAC=

BC

AB

=

8

10

=

4

5

，
∴

9

PD

=

4

5

，
解得PD=

45

4

，
在Rt△APD中，PA=

AD2+PD2

=

52+( 45 4 )2

=

5 97

4

，
综上所述，PA的长为

25

4

或

5 97

4

．

点评：本题考查了等腰三角形三线合一的性质，三角形的面积勾股定理，锐角三角函数，根据等底等高的三角形的面积相等得到点A、P到BC的距离相等是解题的关键，要注意分两种情况讨论求解．