Question

【题目】如图，在中，，，点是斜边的中点．点从点出发以的速度向点运动，点同时从点出发以一定的速度沿射线方向运动，规定当点到终点时停止运动．设运动的时间为秒，连接、．

（1）填空：______；

（2）当且点运动的速度也是时，求证：；

（3）若动点以的速度沿射线方向运动，在点、点运动过程中，如果存在某个时间，使得的面积是面积的两倍，请你求出时间的值．

Answer 1

【答案】（1）8;(2)见解析；（3）或4或或.

【解析】

（1）直接可求△ABC的面积；
（2）连接CD，根据等腰直角三角形的性质可求：∠A=∠B=∠ACD=∠DCB=45°，即BD=CD，且BE=CF，即可证△CDF≌△BDE，可得DE=DF；
（3）分△ADF的面积是△BDE的面积的两倍和△BDE与△ADF的面积的2倍两种情况讨论，根据题意列出方程可求x的值．

解：（1）∵S△ABC=AC×BC
∴S△ABC=×4×4=8（cm2）
故答案为：8
（2）如图：连接CD

∵AC=BC，D是AB中点
∴CD平分∠ACB
又∵∠ACB=90°
∴∠A=∠B=∠ACD=∠DCB=45°
∴CD=BD
依题意得：BE=CF
∴在△CDF与△BDE中

∴△CDF≌△BDE（SAS）
∴DE=DF
（3）如图：过点D作DM⊥BC于点M，DN⊥AC于点N，

∵AD=BD，∠A=∠B=45°，∠AND=∠DMB=90°
∴△ADN≌△BDM（AAS）
∴DN=DM
若S△ADF=2S△BDE．
∴×AF×DN=2××BE×DM
∴|4-3x|=2x
∴x1=4，x2=
若2S△ADF=S△BDE
∴2××AF×DN=×BE×DM
∴2×|4-3x|=x
∴x1=，x2=
综上所述：x=或4或或